Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58631 / 30982
↖ ↑ ↗
← N 68.393113°
W 18.965149°		 ← 112.47 m → N 68.393113°
W 18.962402°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
N 68.392101°
W 18.965149°		 ← 112.47 m →
12 647 m²		 N 68.392101°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447322845458984 y=0.236377716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447322845458984 × 217)
    floor (0.447322845458984 × 131072)
    floor (58631.5)     		tx = 58631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236377716064453 × 217)
    floor (0.236377716064453 × 131072)
    floor (30982.5)     		ty = 30982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58631 / 30982 ti = "17/58631/30982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58631/30982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58631 ÷ 217
    58631 ÷ 131072     		x = 0.447319030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30982 ÷ 217
    30982 ÷ 131072     		y = 0.236373901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447319030761719 × 2 - 1) × π
    -0.105361938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33100429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236373901367188 × 2 - 1) × π
    0.527252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65641162947142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33100429} λ = -0.33100429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65641162947142))-π/2
    2×atan(5.24047230845011)-π/2
    2×1.38224066285775-π/2
    2.7644813257155-1.57079632675     		φ = 1.19368500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33100429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.965149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19368500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.393113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58631 KachelY 30982 -0.33100429 1.19368500 -18.965149 68.393113
    Oben rechts KachelX + 1 58632 KachelY 30982 -0.33095635 1.19368500 -18.962402 68.393113
    Unten links KachelX 58631 KachelY + 1 30983 -0.33100429 1.19366735 -18.965149 68.392101
    Unten rechts KachelX + 1 58632 KachelY + 1 30983 -0.33095635 1.19366735 -18.962402 68.392101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19368500-1.19366735) × R
    1.76500000002022e-05 × 6371000     		dl = 112.448150001288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19368500-1.19366735) × R
    1.76500000002022e-05 × 6371000     		dr = 112.448150001288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(1.19368500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		do = 112.468849594694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(1.19366735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368252726651525 × 6371000     		du = 112.473861544486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19368500)-sin(1.19366735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368236316935067-0.368252726651525)×R²
    abs(-0.33095635--0.33100429)×1.64097164581101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64097164581101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64097164581101e-05×40589641000000     		ar = 12647.1958622523m²