Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5863 / 7006
↖ ↑ ↗
← N 25.204941°
W 51.174316°		 ← 2 210.60 m → N 25.204941°
W 51.152344°		 →
↑
2 210.80 m
↓
↑
2 210.80 m
↓
N 25.185059°
W 51.174316°		 ← 2 210.96 m →
4 887 589 m²		 N 25.185059°
W 51.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357879638671875 y=0.427642822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357879638671875 × 214)
    floor (0.357879638671875 × 16384)
    floor (5863.5)     		tx = 5863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427642822265625 × 214)
    floor (0.427642822265625 × 16384)
    floor (7006.5)     		ty = 7006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5863 / 7006 ti = "14/5863/7006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5863/7006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5863 ÷ 214
    5863 ÷ 16384     		x = 0.35784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7006 ÷ 214
    7006 ÷ 16384     		y = 0.4276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.2843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89316031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    0.144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.454825303595093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89316031} λ = -0.89316031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454825303595093))-π/2
    2×atan(1.57589805526055)-π/2
    2×1.00535276884217-π/2
    2.01070553768433-1.57079632675     		φ = 0.43990921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89316031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43990921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.204941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5863 KachelY 7006 -0.89316031 0.43990921 -51.174316 25.204941
    Oben rechts KachelX + 1 5864 KachelY 7006 -0.89277682 0.43990921 -51.152344 25.204941
    Unten links KachelX 5863 KachelY + 1 7007 -0.89316031 0.43956220 -51.174316 25.185059
    Unten rechts KachelX + 1 5864 KachelY + 1 7007 -0.89277682 0.43956220 -51.152344 25.185059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43990921-0.43956220) × R
    0.000347009999999981 × 6371000     		dl = 2210.80070999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43990921-0.43956220) × R
    0.000347009999999981 × 6371000     		dr = 2210.80070999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89316031--0.89277682) × cos(0.43990921) × R
    0.000383489999999931 × 0.904790330535089 × 6371000     		do = 2210.59711741192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89316031--0.89277682) × cos(0.43956220) × R
    0.000383489999999931 × 0.904938052805463 × 6371000     		du = 2210.95803464771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43990921)-sin(0.43956220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904790330535089-0.904938052805463)×R²
    abs(-0.89277682--0.89316031)×0.000147722270373518×R²
    0.000383489999999931×0.000147722270373518×6371000²
    0.000383489999999931×0.000147722270373518×40589641000000     		ar = 4887588.68378403m²