Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58629 / 82141
↖ ↑ ↗
← S 41.436550°
W 18.970642°		 ← 228.97 m → S 41.436550°
W 18.967896°		 →
↑
228.97 m
↓
↑
228.97 m
↓
S 41.438609°
W 18.970642°		 ← 228.97 m →
52 428 m²		 S 41.438609°
W 18.967896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447307586669922 y=0.626689910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447307586669922 × 217)
    floor (0.447307586669922 × 131072)
    floor (58629.5)     		tx = 58629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626689910888672 × 217)
    floor (0.626689910888672 × 131072)
    floor (82141.5)     		ty = 82141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58629 / 82141 ti = "17/58629/82141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58629/82141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58629 ÷ 217
    58629 ÷ 131072     		x = 0.447303771972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82141 ÷ 217
    82141 ÷ 131072     		y = 0.626686096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447303771972656 × 2 - 1) × π
    -0.105392456054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33110017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626686096191406 × 2 - 1) × π
    -0.253372192382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.795992218191032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33110017} λ = -0.33110017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795992218191032))-π/2
    2×atan(0.451133390023243)-π/2
    2×0.423796054347897-π/2
    0.847592108695794-1.57079632675     		φ = -0.72320422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33110017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.970642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72320422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.436550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58629 KachelY 82141 -0.33110017 -0.72320422 -18.970642 -41.436550
    Oben rechts KachelX + 1 58630 KachelY 82141 -0.33105223 -0.72320422 -18.967896 -41.436550
    Unten links KachelX 58629 KachelY + 1 82142 -0.33110017 -0.72324016 -18.970642 -41.438609
    Unten rechts KachelX + 1 58630 KachelY + 1 82142 -0.33105223 -0.72324016 -18.967896 -41.438609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72320422--0.72324016) × R
    3.59400000000676e-05 × 6371000     		dl = 228.973740000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72320422--0.72324016) × R
    3.59400000000676e-05 × 6371000     		dr = 228.973740000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33110017--0.33105223) × cos(-0.72320422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.749689059801544 × 6371000     		do = 228.974335859906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33110017--0.33105223) × cos(-0.72324016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.749665274576364 × 6371000     		du = 228.967071239904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72320422)-sin(-0.72324016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749689059801544-0.749665274576364)×R²
    abs(-0.33105223--0.33110017)×2.37852251798731e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37852251798731e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37852251798731e-05×40589641000000     		ar = 52428.278348015m²