Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58628 / 45383
↖ ↑ ↗
← N 48.328865°
W 18.973389°		 ← 203.02 m → N 48.328865°
W 18.970642°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
N 48.327039°
W 18.973389°		 ← 203.03 m →
41 223 m²		 N 48.327039°
W 18.970642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447299957275391 y=0.346248626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447299957275391 × 217)
    floor (0.447299957275391 × 131072)
    floor (58628.5)     		tx = 58628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346248626708984 × 217)
    floor (0.346248626708984 × 131072)
    floor (45383.5)     		ty = 45383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58628 / 45383 ti = "17/58628/45383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58628/45383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58628 ÷ 217
    58628 ÷ 131072     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45383 ÷ 217
    45383 ÷ 131072     		y = 0.346244812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346244812011719 × 2 - 1) × π
    0.307510375976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.966072338042992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966072338042992))-π/2
    2×atan(2.62760382580628)-π/2
    2×1.20714707448101-π/2
    2.41429414896202-1.57079632675     		φ = 0.84349782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84349782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.328865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58628 KachelY 45383 -0.33114810 0.84349782 -18.973389 48.328865
    Oben rechts KachelX + 1 58629 KachelY 45383 -0.33110017 0.84349782 -18.970642 48.328865
    Unten links KachelX 58628 KachelY + 1 45384 -0.33114810 0.84346595 -18.973389 48.327039
    Unten rechts KachelX + 1 58629 KachelY + 1 45384 -0.33110017 0.84346595 -18.970642 48.327039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84349782-0.84346595) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84349782-0.84346595) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33110017) × cos(0.84349782) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664854120440077 × 6371000     		do = 203.021203871336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33110017) × cos(0.84346595) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664877926139102 × 6371000     		du = 203.028473227915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84349782)-sin(0.84346595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664854120440077-0.664877926139102)×R²
    abs(-0.33110017--0.33114810)×2.38056990244928e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38056990244928e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38056990244928e-05×40589641000000     		ar = 41222.9286260362m²