Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58628 / 30981
↖ ↑ ↗
← N 68.394124°
W 18.973389°		 ← 112.44 m → N 68.394124°
W 18.970642°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
N 68.393113°
W 18.973389°		 ← 112.45 m →
12 644 m²		 N 68.393113°
W 18.970642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447299957275391 y=0.236370086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447299957275391 × 217)
    floor (0.447299957275391 × 131072)
    floor (58628.5)     		tx = 58628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236370086669922 × 217)
    floor (0.236370086669922 × 131072)
    floor (30981.5)     		ty = 30981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58628 / 30981 ti = "17/58628/30981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58628/30981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58628 ÷ 217
    58628 ÷ 131072     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30981 ÷ 217
    30981 ÷ 131072     		y = 0.236366271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236366271972656 × 2 - 1) × π
    0.527267456054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.65645956637104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65645956637104))-π/2
    2×atan(5.24072352646638)-π/2
    2×1.38224948871477-π/2
    2.76449897742955-1.57079632675     		φ = 1.19370265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19370265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.394124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58628 KachelY 30981 -0.33114810 1.19370265 -18.973389 68.394124
    Oben rechts KachelX + 1 58629 KachelY 30981 -0.33110017 1.19370265 -18.970642 68.394124
    Unten links KachelX 58628 KachelY + 1 30982 -0.33114810 1.19368500 -18.973389 68.393113
    Unten rechts KachelX + 1 58629 KachelY + 1 30982 -0.33110017 1.19368500 -18.970642 68.393113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19370265-1.19368500) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19370265-1.19368500) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33110017) × cos(1.19370265) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368219907103895 × 6371000     		do = 112.440378319595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33110017) × cos(1.19368500) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		du = 112.445389258954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19370265)-sin(1.19368500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368219907103895-0.368236316935067)×R²
    abs(-0.33110017--0.33114810)×1.64098311717931e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64098311717931e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64098311717931e-05×40589641000000     		ar = 12643.9942629497m²