Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58627 / 37635
↖ ↑ ↗
← N 60.582920°
W 18.976135°		 ← 150.01 m → N 60.582920°
W 18.973389°		 →
↑
149.97 m
↓
↑
149.97 m
↓
N 60.581572°
W 18.976135°		 ← 150.02 m →
22 499 m²		 N 60.581572°
W 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447292327880859 y=0.287136077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447292327880859 × 217)
    floor (0.447292327880859 × 131072)
    floor (58627.5)     		tx = 58627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287136077880859 × 217)
    floor (0.287136077880859 × 131072)
    floor (37635.5)     		ty = 37635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58627 / 37635 ti = "17/58627/37635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58627/37635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58627 ÷ 217
    58627 ÷ 131072     		x = 0.447288513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37635 ÷ 217
    37635 ÷ 131072     		y = 0.287132263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447288513183594 × 2 - 1) × π
    -0.105422973632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33119604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287132263183594 × 2 - 1) × π
    0.425735473632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.33748743629919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33119604} λ = -0.33119604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33748743629919))-π/2
    2×atan(3.80945995995881)-π/2
    2×1.31408388028204-π/2
    2.62816776056407-1.57079632675     		φ = 1.05737143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33119604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.976135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05737143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.582920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58627 KachelY 37635 -0.33119604 1.05737143 -18.976135 60.582920
    Oben rechts KachelX + 1 58628 KachelY 37635 -0.33114810 1.05737143 -18.973389 60.582920
    Unten links KachelX 58627 KachelY + 1 37636 -0.33119604 1.05734789 -18.976135 60.581572
    Unten rechts KachelX + 1 58628 KachelY + 1 37636 -0.33114810 1.05734789 -18.973389 60.581572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05737143-1.05734789) × R
    2.35399999999331e-05 × 6371000     		dl = 149.973339999574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05737143-1.05734789) × R
    2.35399999999331e-05 × 6371000     		dr = 149.973339999574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33119604--0.33114810) × cos(1.05737143) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.491163437769587 × 6371000     		do = 150.013956441795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33119604--0.33114810) × cos(1.05734789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.491183942560935 × 6371000     		du = 150.020219132866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05737143)-sin(1.05734789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491163437769587-0.491183942560935)×R²
    abs(-0.33114810--0.33119604)×2.05047913479639e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05047913479639e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05047913479639e-05×40589641000000     		ar = 22498.5637134129m²