Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58625 / 86275
↖ ↑ ↗
← S 49.387736°
W 18.981628°		 ← 198.77 m → S 49.387736°
W 18.978882°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 49.389525°
W 18.981628°		 ← 198.76 m →
39 523 m²		 S 49.389525°
W 18.978882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447277069091797 y=0.658229827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447277069091797 × 217)
    floor (0.447277069091797 × 131072)
    floor (58625.5)     		tx = 58625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658229827880859 × 217)
    floor (0.658229827880859 × 131072)
    floor (86275.5)     		ty = 86275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58625 / 86275 ti = "17/58625/86275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58625/86275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58625 ÷ 217
    58625 ÷ 131072     		x = 0.447273254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86275 ÷ 217
    86275 ÷ 131072     		y = 0.658226013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447273254394531 × 2 - 1) × π
    -0.105453491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33129191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658226013183594 × 2 - 1) × π
    -0.316452026367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.994163361220345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33129191} λ = -0.33129191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994163361220345))-π/2
    2×atan(0.370032898948239)-π/2
    2×0.354408856229595-π/2
    0.70881771245919-1.57079632675     		φ = -0.86197861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33129191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.981628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86197861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.387736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58625 KachelY 86275 -0.33129191 -0.86197861 -18.981628 -49.387736
    Oben rechts KachelX + 1 58626 KachelY 86275 -0.33124398 -0.86197861 -18.978882 -49.387736
    Unten links KachelX 58625 KachelY + 1 86276 -0.33129191 -0.86200982 -18.981628 -49.389525
    Unten rechts KachelX + 1 58626 KachelY + 1 86276 -0.33124398 -0.86200982 -18.978882 -49.389525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86197861--0.86200982) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dl = 198.838910000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86197861--0.86200982) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dr = 198.838910000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33129191--0.33124398) × cos(-0.86197861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650936717156563 × 6371000     		do = 198.771357352586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33129191--0.33124398) × cos(-0.86200982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650913024329885 × 6371000     		du = 198.764122462935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86197861)-sin(-0.86200982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650936717156563-0.650913024329885)×R²
    abs(-0.33124398--0.33129191)×2.36928266781344e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36928266781344e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36928266781344e-05×40589641000000     		ar = 39522.7607497899m²