Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58625 / 45385
↖ ↑ ↗
← N 48.325213°
W 18.981628°		 ← 203.04 m → N 48.325213°
W 18.978882°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
N 48.323386°
W 18.981628°		 ← 203.04 m →
41 239 m²		 N 48.323386°
W 18.978882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447277069091797 y=0.346263885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447277069091797 × 217)
    floor (0.447277069091797 × 131072)
    floor (58625.5)     		tx = 58625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346263885498047 × 217)
    floor (0.346263885498047 × 131072)
    floor (45385.5)     		ty = 45385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58625 / 45385 ti = "17/58625/45385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58625/45385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58625 ÷ 217
    58625 ÷ 131072     		x = 0.447273254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45385 ÷ 217
    45385 ÷ 131072     		y = 0.346260070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447273254394531 × 2 - 1) × π
    -0.105453491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33129191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346260070800781 × 2 - 1) × π
    0.307479858398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.965976464243751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33129191} λ = -0.33129191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965976464243751))-π/2
    2×atan(2.6273519195204)-π/2
    2×1.20711520229462-π/2
    2.41423040458925-1.57079632675     		φ = 0.84343408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33129191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.981628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84343408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.325213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58625 KachelY 45385 -0.33129191 0.84343408 -18.981628 48.325213
    Oben rechts KachelX + 1 58626 KachelY 45385 -0.33124398 0.84343408 -18.978882 48.325213
    Unten links KachelX 58625 KachelY + 1 45386 -0.33129191 0.84340220 -18.981628 48.323386
    Unten rechts KachelX + 1 58626 KachelY + 1 45386 -0.33124398 0.84340220 -18.978882 48.323386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84343408-0.84340220) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84343408-0.84340220) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33129191--0.33124398) × cos(0.84343408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664901731162812 × 6371000     		do = 203.035742378515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33129191--0.33124398) × cos(0.84340220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66492554298028 × 6371000     		du = 203.043013603435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84343408)-sin(0.84340220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664901731162812-0.66492554298028)×R²
    abs(-0.33124398--0.33129191)×2.38118174679114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38118174679114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38118174679114e-05×40589641000000     		ar = 41238.8164080612m²