Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58623 / 86271
↖ ↑ ↗
← S 49.380585°
W 18.987122°		 ← 198.84 m → S 49.380585°
W 18.984375°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 49.382373°
W 18.987122°		 ← 198.83 m →
39 537 m²		 S 49.382373°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447261810302734 y=0.658199310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447261810302734 × 217)
    floor (0.447261810302734 × 131072)
    floor (58623.5)     		tx = 58623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658199310302734 × 217)
    floor (0.658199310302734 × 131072)
    floor (86271.5)     		ty = 86271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58623 / 86271 ti = "17/58623/86271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58623/86271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58623 ÷ 217
    58623 ÷ 131072     		x = 0.447257995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86271 ÷ 217
    86271 ÷ 131072     		y = 0.658195495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447257995605469 × 2 - 1) × π
    -0.105484008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33138779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658195495605469 × 2 - 1) × π
    -0.316390991210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.993971613621864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33138779} λ = -0.33138779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993971613621864))-π/2
    2×atan(0.370103858670932)-π/2
    2×0.354471268547568-π/2
    0.708942537095137-1.57079632675     		φ = -0.86185379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33138779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.987122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86185379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.380585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58623 KachelY 86271 -0.33138779 -0.86185379 -18.987122 -49.380585
    Oben rechts KachelX + 1 58624 KachelY 86271 -0.33133985 -0.86185379 -18.984375 -49.380585
    Unten links KachelX 58623 KachelY + 1 86272 -0.33138779 -0.86188500 -18.987122 -49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 58624 KachelY + 1 86272 -0.33133985 -0.86188500 -18.984375 -49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86185379--0.86188500) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dl = 198.838910000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86185379--0.86188500) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dr = 198.838910000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33138779--0.33133985) × cos(-0.86185379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651031466941489 × 6371000     		do = 198.84176755399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33138779--0.33133985) × cos(-0.86188500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 198.834531929413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86185379)-sin(-0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651031466941489-0.651007776650759)×R²
    abs(-0.33133985--0.33138779)×2.36902907296832e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36902907296832e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36902907296832e-05×40589641000000     		ar = 39536.76096448m²