Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58621 / 86270
↖ ↑ ↗
← S 49.378797°
W 18.992615°		 ← 198.85 m → S 49.378797°
W 18.989868°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 49.380585°
W 18.992615°		 ← 198.84 m →
39 538 m²		 S 49.380585°
W 18.989868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447246551513672 y=0.658191680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447246551513672 × 217)
    floor (0.447246551513672 × 131072)
    floor (58621.5)     		tx = 58621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658191680908203 × 217)
    floor (0.658191680908203 × 131072)
    floor (86270.5)     		ty = 86270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58621 / 86270 ti = "17/58621/86270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58621/86270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58621 ÷ 217
    58621 ÷ 131072     		x = 0.447242736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86270 ÷ 217
    86270 ÷ 131072     		y = 0.658187866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447242736816406 × 2 - 1) × π
    -0.105514526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33148366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658187866210938 × 2 - 1) × π
    -0.316375732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.993923676722244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33148366} λ = -0.33148366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993923676722244))-π/2
    2×atan(0.3701216007277)-π/2
    2×0.354486873046507-π/2
    0.708973746093013-1.57079632675     		φ = -0.86182258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33148366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.992615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86182258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.378797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58621 KachelY 86270 -0.33148366 -0.86182258 -18.992615 -49.378797
    Oben rechts KachelX + 1 58622 KachelY 86270 -0.33143572 -0.86182258 -18.989868 -49.378797
    Unten links KachelX 58621 KachelY + 1 86271 -0.33148366 -0.86185379 -18.992615 -49.380585
    Unten rechts KachelX + 1 58622 KachelY + 1 86271 -0.33143572 -0.86185379 -18.989868 -49.380585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86182258--0.86185379) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86182258--0.86185379) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33148366--0.33143572) × cos(-0.86182258) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651055156598072 × 6371000     		do = 198.849002984882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33148366--0.33143572) × cos(-0.86185379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651031466941489 × 6371000     		du = 198.84176755399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86182258)-sin(-0.86185379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651055156598072-0.651031466941489)×R²
    abs(-0.33143572--0.33148366)×2.36896565832811e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36896565832811e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36896565832811e-05×40589641000000     		ar = 39538.1996685887m²