Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58620 / 86228
↖ ↑ ↗
← S 49.303636°
W 18.995361°		 ← 199.15 m → S 49.303636°
W 18.992615°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 49.305426°
W 18.995361°		 ← 199.15 m →
39 649 m²		 S 49.305426°
W 18.992615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447238922119141 y=0.657871246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447238922119141 × 217)
    floor (0.447238922119141 × 131072)
    floor (58620.5)     		tx = 58620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657871246337891 × 217)
    floor (0.657871246337891 × 131072)
    floor (86228.5)     		ty = 86228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58620 / 86228 ti = "17/58620/86228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58620/86228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58620 ÷ 217
    58620 ÷ 131072     		x = 0.447235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86228 ÷ 217
    86228 ÷ 131072     		y = 0.657867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.10552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33153160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.31573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991910326938202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33153160} λ = -0.33153160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991910326938202))-π/2
    2×atan(0.370867535634561)-π/2
    2×0.355142774782353-π/2
    0.710285549564707-1.57079632675     		φ = -0.86051078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33153160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.995361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86051078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.303636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58620 KachelY 86228 -0.33153160 -0.86051078 -18.995361 -49.303636
    Oben rechts KachelX + 1 58621 KachelY 86228 -0.33148366 -0.86051078 -18.992615 -49.303636
    Unten links KachelX 58620 KachelY + 1 86229 -0.33153160 -0.86054203 -18.995361 -49.305426
    Unten rechts KachelX + 1 58621 KachelY + 1 86229 -0.33148366 -0.86054203 -18.992615 -49.305426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86051078--0.86054203) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86051078--0.86054203) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33153160--0.33148366) × cos(-0.86051078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652050292247379 × 6371000     		do = 199.152943026741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33153160--0.33148366) × cos(-0.86054203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652026598937873 × 6371000     		du = 199.145706480152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86051078)-sin(-0.86054203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652050292247379-0.652026598937873)×R²
    abs(-0.33148366--0.33153160)×2.36933095060232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36933095060232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36933095060232e-05×40589641000000     		ar = 39649.3858782345m²