Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58619 / 82214
↖ ↑ ↗
← S 41.586689°
W 18.998108°		 ← 228.40 m → S 41.586689°
W 18.995361°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
S 41.588743°
W 18.998108°		 ← 228.39 m →
52 165 m²		 S 41.588743°
W 18.995361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447231292724609 y=0.627246856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447231292724609 × 217)
    floor (0.447231292724609 × 131072)
    floor (58619.5)     		tx = 58619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627246856689453 × 217)
    floor (0.627246856689453 × 131072)
    floor (82214.5)     		ty = 82214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58619 / 82214 ti = "17/58619/82214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58619/82214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58619 ÷ 217
    58619 ÷ 131072     		x = 0.447227478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82214 ÷ 217
    82214 ÷ 131072     		y = 0.627243041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447227478027344 × 2 - 1) × π
    -0.105545043945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33157953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627243041992188 × 2 - 1) × π
    -0.254486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.799491611863297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33157953} λ = -0.33157953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799491611863297))-π/2
    2×atan(0.449557455708342)-π/2
    2×0.422485844991015-π/2
    0.84497168998203-1.57079632675     		φ = -0.72582464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33157953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.998108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72582464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.586689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58619 KachelY 82214 -0.33157953 -0.72582464 -18.998108 -41.586689
    Oben rechts KachelX + 1 58620 KachelY 82214 -0.33153160 -0.72582464 -18.995361 -41.586689
    Unten links KachelX 58619 KachelY + 1 82215 -0.33157953 -0.72586049 -18.998108 -41.588743
    Unten rechts KachelX + 1 58620 KachelY + 1 82215 -0.33153160 -0.72586049 -18.995361 -41.588743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72582464--0.72586049) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dl = 228.400349999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72582464--0.72586049) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dr = 228.400349999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33157953--0.33153160) × cos(-0.72582464) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747952319515267 × 6371000     		do = 228.39623863053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33157953--0.33153160) × cos(-0.72586049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74792852350895 × 6371000     		du = 228.388972233735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72582464)-sin(-0.72586049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747952319515267-0.74792852350895)×R²
    abs(-0.33153160--0.33157953)×2.37960063169673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37960063169673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37960063169673e-05×40589641000000     		ar = 52164.9510236495m²