Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58619 / 39253
↖ ↑ ↗
← N 58.325357°
W 18.998108°		 ← 160.34 m → N 58.325357°
W 18.995361°		 →
↑
160.36 m
↓
↑
160.36 m
↓
N 58.323914°
W 18.998108°		 ← 160.35 m →
25 713 m²		 N 58.323914°
W 18.995361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447231292724609 y=0.299480438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447231292724609 × 217)
    floor (0.447231292724609 × 131072)
    floor (58619.5)     		tx = 58619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299480438232422 × 217)
    floor (0.299480438232422 × 131072)
    floor (39253.5)     		ty = 39253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58619 / 39253 ti = "17/58619/39253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58619/39253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58619 ÷ 217
    58619 ÷ 131072     		x = 0.447227478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39253 ÷ 217
    39253 ÷ 131072     		y = 0.299476623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447227478027344 × 2 - 1) × π
    -0.105545043945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33157953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299476623535156 × 2 - 1) × π
    0.401046752929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.25992553271394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33157953} λ = -0.33157953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25992553271394))-π/2
    2×atan(3.52515896856964)-π/2
    2×1.29438292002894-π/2
    2.58876584005787-1.57079632675     		φ = 1.01796951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33157953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.998108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01796951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.325357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58619 KachelY 39253 -0.33157953 1.01796951 -18.998108 58.325357
    Oben rechts KachelX + 1 58620 KachelY 39253 -0.33153160 1.01796951 -18.995361 58.325357
    Unten links KachelX 58619 KachelY + 1 39254 -0.33157953 1.01794434 -18.998108 58.323914
    Unten rechts KachelX + 1 58620 KachelY + 1 39254 -0.33153160 1.01794434 -18.995361 58.323914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01796951-1.01794434) × R
    2.51700000000188e-05 × 6371000     		dl = 160.35807000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01796951-1.01794434) × R
    2.51700000000188e-05 × 6371000     		dr = 160.35807000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33157953--0.33153160) × cos(1.01796951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525095067990578 × 6371000     		do = 160.344095904689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33157953--0.33153160) × cos(1.01794434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525116488591071 × 6371000     		du = 160.35063694274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01796951)-sin(1.01794434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525095067990578-0.525116488591071)×R²
    abs(-0.33153160--0.33157953)×2.14206004937045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14206004937045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14206004937045e-05×40589641000000     		ar = 25712.9942108529m²