Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58618 / 85770
↖ ↑ ↗
← S 48.476563°
W 19.000854°		 ← 202.47 m → S 48.476563°
W 18.998108°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
S 48.478384°
W 19.000854°		 ← 202.47 m →
40 994 m²		 S 48.478384°
W 18.998108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447223663330078 y=0.654376983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447223663330078 × 217)
    floor (0.447223663330078 × 131072)
    floor (58618.5)     		tx = 58618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654376983642578 × 217)
    floor (0.654376983642578 × 131072)
    floor (85770.5)     		ty = 85770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58618 / 85770 ti = "17/58618/85770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58618/85770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58618 ÷ 217
    58618 ÷ 131072     		x = 0.447219848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85770 ÷ 217
    85770 ÷ 131072     		y = 0.654373168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447219848632812 × 2 - 1) × π
    -0.105560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33162747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654373168945312 × 2 - 1) × π
    -0.308746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.969955226912216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33162747} λ = -0.33162747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969955226912216))-π/2
    2×atan(0.379100011201507)-π/2
    2×0.362360346499485-π/2
    0.72472069299897-1.57079632675     		φ = -0.84607563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33162747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.000854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84607563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.476563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58618 KachelY 85770 -0.33162747 -0.84607563 -19.000854 -48.476563
    Oben rechts KachelX + 1 58619 KachelY 85770 -0.33157953 -0.84607563 -18.998108 -48.476563
    Unten links KachelX 58618 KachelY + 1 85771 -0.33162747 -0.84610741 -19.000854 -48.478384
    Unten rechts KachelX + 1 58619 KachelY + 1 85771 -0.33157953 -0.84610741 -18.998108 -48.478384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84607563--0.84610741) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84607563--0.84610741) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33162747--0.33157953) × cos(-0.84607563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662926358512804 × 6371000     		do = 202.474773614146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33162747--0.33157953) × cos(-0.84610741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662902564981178 × 6371000     		du = 202.467506457142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84607563)-sin(-0.84610741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662926358512804-0.662902564981178)×R²
    abs(-0.33157953--0.33162747)×2.37935316254045e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37935316254045e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37935316254045e-05×40589641000000     		ar = 40994.4086655783m²