Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58618 / 39254
↖ ↑ ↗
← N 58.323914°
W 19.000854°		 ← 160.38 m → N 58.323914°
W 18.998108°		 →
↑
160.36 m
↓
↑
160.36 m
↓
N 58.322472°
W 19.000854°		 ← 160.39 m →
25 719 m²		 N 58.322472°
W 18.998108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447223663330078 y=0.299488067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447223663330078 × 217)
    floor (0.447223663330078 × 131072)
    floor (58618.5)     		tx = 58618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299488067626953 × 217)
    floor (0.299488067626953 × 131072)
    floor (39254.5)     		ty = 39254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58618 / 39254 ti = "17/58618/39254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58618/39254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58618 ÷ 217
    58618 ÷ 131072     		x = 0.447219848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39254 ÷ 217
    39254 ÷ 131072     		y = 0.299484252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447219848632812 × 2 - 1) × π
    -0.105560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33162747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299484252929688 × 2 - 1) × π
    0.401031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25987759581432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33162747} λ = -0.33162747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25987759581432))-π/2
    2×atan(3.52498998742827)-π/2
    2×1.29437033405749-π/2
    2.58874066811498-1.57079632675     		φ = 1.01794434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33162747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.000854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01794434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.323914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58618 KachelY 39254 -0.33162747 1.01794434 -19.000854 58.323914
    Oben rechts KachelX + 1 58619 KachelY 39254 -0.33157953 1.01794434 -18.998108 58.323914
    Unten links KachelX 58618 KachelY + 1 39255 -0.33162747 1.01791917 -19.000854 58.322472
    Unten rechts KachelX + 1 58619 KachelY + 1 39255 -0.33157953 1.01791917 -18.998108 58.322472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01794434-1.01791917) × R
    2.51699999997967e-05 × 6371000     		dl = 160.358069998705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01794434-1.01791917) × R
    2.51699999997967e-05 × 6371000     		dr = 160.358069998705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33162747--0.33157953) × cos(1.01794434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525116488591071 × 6371000     		do = 160.384092114024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33162747--0.33157953) × cos(1.01791917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525137908858888 × 6371000     		du = 160.390634415173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01794434)-sin(1.01791917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525116488591071-0.525137908858888)×R²
    abs(-0.33157953--0.33162747)×2.14202678171516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14202678171516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14202678171516e-05×40589641000000     		ar = 25719.4080265355m²