Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58616 / 82122
↖ ↑ ↗
← S 41.397415°
W 19.006348°		 ← 229.11 m → S 41.397415°
W 19.003601°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.399475°
W 19.006348°		 ← 229.11 m →
52 489 m²		 S 41.399475°
W 19.003601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447208404541016 y=0.626544952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447208404541016 × 217)
    floor (0.447208404541016 × 131072)
    floor (58616.5)     		tx = 58616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626544952392578 × 217)
    floor (0.626544952392578 × 131072)
    floor (82122.5)     		ty = 82122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58616 / 82122 ti = "17/58616/82122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58616/82122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58616 ÷ 217
    58616 ÷ 131072     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82122 ÷ 217
    82122 ÷ 131072     		y = 0.626541137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626541137695312 × 2 - 1) × π
    -0.253082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.795081417098251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795081417098251))-π/2
    2×atan(0.451544469985488)-π/2
    2×0.424137566043714-π/2
    0.848275132087429-1.57079632675     		φ = -0.72252119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72252119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.397415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58616 KachelY 82122 -0.33172335 -0.72252119 -19.006348 -41.397415
    Oben rechts KachelX + 1 58617 KachelY 82122 -0.33167541 -0.72252119 -19.003601 -41.397415
    Unten links KachelX 58616 KachelY + 1 82123 -0.33172335 -0.72255715 -19.006348 -41.399475
    Unten rechts KachelX + 1 58617 KachelY + 1 82123 -0.33167541 -0.72255715 -19.003601 -41.399475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72252119--0.72255715) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dl = 229.101159999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72252119--0.72255715) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dr = 229.101159999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33167541) × cos(-0.72252119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750140907473616 × 6371000     		do = 229.112341769251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33167541) × cos(-0.72255715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750117127431032 × 6371000     		du = 229.105078732147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72252119)-sin(-0.72255715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750140907473616-0.750117127431032)×R²
    abs(-0.33167541--0.33172335)×2.37800425839652e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37800425839652e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37800425839652e-05×40589641000000     		ar = 52489.0712900816m²