Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58615 / 82123
↖ ↑ ↗
← S 41.399475°
W 19.009094°		 ← 229.06 m → S 41.399475°
W 19.006348°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.401536°
W 19.009094°		 ← 229.05 m →
52 476 m²		 S 41.401536°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447200775146484 y=0.626552581787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447200775146484 × 217)
    floor (0.447200775146484 × 131072)
    floor (58615.5)     		tx = 58615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626552581787109 × 217)
    floor (0.626552581787109 × 131072)
    floor (82123.5)     		ty = 82123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58615 / 82123 ti = "17/58615/82123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58615/82123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58615 ÷ 217
    58615 ÷ 131072     		x = 0.447196960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82123 ÷ 217
    82123 ÷ 131072     		y = 0.626548767089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447196960449219 × 2 - 1) × π
    -0.105606079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33177128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626548767089844 × 2 - 1) × π
    -0.253097534179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.795129353997871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33177128} λ = -0.33177128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795129353997871))-π/2
    2×atan(0.45152282486236)-π/2
    2×0.424119586614074-π/2
    0.848239173228148-1.57079632675     		φ = -0.72255715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33177128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.009094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72255715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.399475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58615 KachelY 82123 -0.33177128 -0.72255715 -19.009094 -41.399475
    Oben rechts KachelX + 1 58616 KachelY 82123 -0.33172335 -0.72255715 -19.006348 -41.399475
    Unten links KachelX 58615 KachelY + 1 82124 -0.33177128 -0.72259311 -19.009094 -41.401536
    Unten rechts KachelX + 1 58616 KachelY + 1 82124 -0.33172335 -0.72259311 -19.006348 -41.401536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72255715--0.72259311) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dl = 229.101160000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72255715--0.72259311) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dr = 229.101160000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33177128--0.33172335) × cos(-0.72255715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.750117127431032 × 6371000     		do = 229.057288770249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33177128--0.33172335) × cos(-0.72259311) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.750093346418455 × 6371000     		du = 229.050026951973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72255715)-sin(-0.72259311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750117127431032-0.750093346418455)×R²
    abs(-0.33172335--0.33177128)×2.37810125767179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37810125767179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37810125767179e-05×40589641000000     		ar = 52476.4587238456m²