Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58615 / 38248
↖ ↑ ↗
← N 59.745326°
W 19.009094°		 ← 153.85 m → N 59.745326°
W 19.006348°		 →
↑
153.86 m
↓
↑
153.86 m
↓
N 59.743942°
W 19.009094°		 ← 153.86 m →
23 673 m²		 N 59.743942°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447200775146484 y=0.291812896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447200775146484 × 217)
    floor (0.447200775146484 × 131072)
    floor (58615.5)     		tx = 58615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291812896728516 × 217)
    floor (0.291812896728516 × 131072)
    floor (38248.5)     		ty = 38248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58615 / 38248 ti = "17/58615/38248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58615/38248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58615 ÷ 217
    58615 ÷ 131072     		x = 0.447196960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38248 ÷ 217
    38248 ÷ 131072     		y = 0.29180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447196960449219 × 2 - 1) × π
    -0.105606079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33177128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29180908203125 × 2 - 1) × π
    0.4163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30810211683209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33177128} λ = -0.33177128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30810211683209))-π/2
    2×atan(3.69914649802952)-π/2
    2×1.30677448979349-π/2
    2.61354897958698-1.57079632675     		φ = 1.04275265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33177128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.009094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04275265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.745326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58615 KachelY 38248 -0.33177128 1.04275265 -19.009094 59.745326
    Oben rechts KachelX + 1 58616 KachelY 38248 -0.33172335 1.04275265 -19.006348 59.745326
    Unten links KachelX 58615 KachelY + 1 38249 -0.33177128 1.04272850 -19.009094 59.743942
    Unten rechts KachelX + 1 58616 KachelY + 1 38249 -0.33172335 1.04272850 -19.006348 59.743942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04275265-1.04272850) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dl = 153.859650000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04275265-1.04272850) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dr = 153.859650000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33177128--0.33172335) × cos(1.04275265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.50384444539953 × 6371000     		do = 153.854962651519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33177128--0.33172335) × cos(1.04272850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.503865305887493 × 6371000     		du = 153.86133265247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04275265)-sin(1.04272850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50384444539953-0.503865305887493)×R²
    abs(-0.33172335--0.33177128)×2.08604879622376e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08604879622376e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08604879622376e-05×40589641000000     		ar = 23672.5607483536m²