Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58615 / 37644
↖ ↑ ↗
← N 60.570777°
W 19.009094°		 ← 150.04 m → N 60.570777°
W 19.006348°		 →
↑
150.04 m
↓
↑
150.04 m
↓
N 60.569428°
W 19.009094°		 ← 150.05 m →
22 512 m²		 N 60.569428°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447200775146484 y=0.287204742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447200775146484 × 217)
    floor (0.447200775146484 × 131072)
    floor (58615.5)     		tx = 58615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287204742431641 × 217)
    floor (0.287204742431641 × 131072)
    floor (37644.5)     		ty = 37644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58615 / 37644 ti = "17/58615/37644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58615/37644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58615 ÷ 217
    58615 ÷ 131072     		x = 0.447196960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37644 ÷ 217
    37644 ÷ 131072     		y = 0.287200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447196960449219 × 2 - 1) × π
    -0.105606079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33177128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287200927734375 × 2 - 1) × π
    0.42559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33705600420261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33177128} λ = -0.33177128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33705600420261))-π/2
    2×atan(3.80781679114481)-π/2
    2×1.31397790853649-π/2
    2.62795581707298-1.57079632675     		φ = 1.05715949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33177128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.009094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05715949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.570777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58615 KachelY 37644 -0.33177128 1.05715949 -19.009094 60.570777
    Oben rechts KachelX + 1 58616 KachelY 37644 -0.33172335 1.05715949 -19.006348 60.570777
    Unten links KachelX 58615 KachelY + 1 37645 -0.33177128 1.05713594 -19.009094 60.569428
    Unten rechts KachelX + 1 58616 KachelY + 1 37645 -0.33172335 1.05713594 -19.006348 60.569428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05715949-1.05713594) × R
    2.35500000000943e-05 × 6371000     		dl = 150.037050000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05715949-1.05713594) × R
    2.35500000000943e-05 × 6371000     		dr = 150.037050000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33177128--0.33172335) × cos(1.05715949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.491348040769332 × 6371000     		do = 150.039035165938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33177128--0.33172335) × cos(1.05713594) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.491368551819238 × 6371000     		du = 150.045298461775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05715949)-sin(1.05713594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491348040769332-0.491368551819238)×R²
    abs(-0.33172335--0.33177128)×2.05110499063577e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.05110499063577e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.05110499063577e-05×40589641000000     		ar = 22511.8840855387m²