Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58612 / 86829
↖ ↑ ↗
← S 50.368241°
W 19.017334°		 ← 194.78 m → S 50.368241°
W 19.014588°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
S 50.369992°
W 19.017334°		 ← 194.77 m →
37 934 m²		 S 50.369992°
W 19.014588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447177886962891 y=0.662456512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447177886962891 × 217)
    floor (0.447177886962891 × 131072)
    floor (58612.5)     		tx = 58612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662456512451172 × 217)
    floor (0.662456512451172 × 131072)
    floor (86829.5)     		ty = 86829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58612 / 86829 ti = "17/58612/86829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58612/86829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58612 ÷ 217
    58612 ÷ 131072     		x = 0.447174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86829 ÷ 217
    86829 ÷ 131072     		y = 0.662452697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662452697753906 × 2 - 1) × π
    -0.324905395507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.02072040360986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33191509} λ = -0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02072040360986))-π/2
    2×atan(0.360335259825043)-π/2
    2×0.345852344035829-π/2
    0.691704688071657-1.57079632675     		φ = -0.87909164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87909164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.368241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58612 KachelY 86829 -0.33191509 -0.87909164 -19.017334 -50.368241
    Oben rechts KachelX + 1 58613 KachelY 86829 -0.33186716 -0.87909164 -19.014588 -50.368241
    Unten links KachelX 58612 KachelY + 1 86830 -0.33191509 -0.87912221 -19.017334 -50.369992
    Unten rechts KachelX + 1 58613 KachelY + 1 86830 -0.33186716 -0.87912221 -19.014588 -50.369992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87909164--0.87912221) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dl = 194.761470000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87909164--0.87912221) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dr = 194.761470000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(-0.87909164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637850989607953 × 6371000     		do = 194.775473024313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(-0.87912221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637827445524876 × 6371000     		du = 194.76828355531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87909164)-sin(-0.87912221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637850989607953-0.637827445524876)×R²
    abs(-0.33186716--0.33191509)×2.35440830770317e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35440830770317e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35440830770317e-05×40589641000000     		ar = 37934.0573332842m²