Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58612 / 86826
↖ ↑ ↗
← S 50.362984°
W 19.017334°		 ← 194.80 m → S 50.362984°
W 19.014588°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
S 50.364737°
W 19.017334°		 ← 194.79 m →
37 951 m²		 S 50.364737°
W 19.014588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447177886962891 y=0.662433624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447177886962891 × 217)
    floor (0.447177886962891 × 131072)
    floor (58612.5)     		tx = 58612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662433624267578 × 217)
    floor (0.662433624267578 × 131072)
    floor (86826.5)     		ty = 86826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58612 / 86826 ti = "17/58612/86826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58612/86826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58612 ÷ 217
    58612 ÷ 131072     		x = 0.447174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86826 ÷ 217
    86826 ÷ 131072     		y = 0.662429809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662429809570312 × 2 - 1) × π
    -0.324859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.020576592911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33191509} λ = -0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.020576592911))-π/2
    2×atan(0.360387083616901)-π/2
    2×0.345898211474155-π/2
    0.69179642294831-1.57079632675     		φ = -0.87899990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87899990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.362984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58612 KachelY 86826 -0.33191509 -0.87899990 -19.017334 -50.362984
    Oben rechts KachelX + 1 58613 KachelY 86826 -0.33186716 -0.87899990 -19.014588 -50.362984
    Unten links KachelX 58612 KachelY + 1 86827 -0.33191509 -0.87903048 -19.017334 -50.364737
    Unten rechts KachelX + 1 58613 KachelY + 1 86827 -0.33186716 -0.87903048 -19.014588 -50.364737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87899990--0.87903048) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87899990--0.87903048) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(-0.87899990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637921641383608 × 6371000     		do = 194.79704739395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(-0.87903048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637898091388237 × 6371000     		du = 194.789856119557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87899990)-sin(-0.87903048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637921641383608-0.637898091388237)×R²
    abs(-0.33186716--0.33191509)×2.35499953709084e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35499953709084e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35499953709084e-05×40589641000000     		ar = 37950.6693042475m²