Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58612 / 39175
↖ ↑ ↗
← N 58.437671°
W 19.017334°		 ← 159.83 m → N 58.437671°
W 19.014588°		 →
↑
159.85 m
↓
↑
159.85 m
↓
N 58.436233°
W 19.017334°		 ← 159.84 m →
25 550 m²		 N 58.436233°
W 19.014588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447177886962891 y=0.298885345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447177886962891 × 217)
    floor (0.447177886962891 × 131072)
    floor (58612.5)     		tx = 58612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298885345458984 × 217)
    floor (0.298885345458984 × 131072)
    floor (39175.5)     		ty = 39175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58612 / 39175 ti = "17/58612/39175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58612/39175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58612 ÷ 217
    58612 ÷ 131072     		x = 0.447174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39175 ÷ 217
    39175 ÷ 131072     		y = 0.298881530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298881530761719 × 2 - 1) × π
    0.402236938476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.2636646108843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33191509} λ = -0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2636646108843))-π/2
    2×atan(3.53836448636253)-π/2
    2×1.29536304488384-π/2
    2.59072608976767-1.57079632675     		φ = 1.01992976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01992976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.437671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58612 KachelY 39175 -0.33191509 1.01992976 -19.017334 58.437671
    Oben rechts KachelX + 1 58613 KachelY 39175 -0.33186716 1.01992976 -19.014588 58.437671
    Unten links KachelX 58612 KachelY + 1 39176 -0.33191509 1.01990467 -19.017334 58.436233
    Unten rechts KachelX + 1 58613 KachelY + 1 39176 -0.33186716 1.01990467 -19.014588 58.436233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01992976-1.01990467) × R
    2.50899999998389e-05 × 6371000     		dl = 159.848389998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01992976-1.01990467) × R
    2.50899999998389e-05 × 6371000     		dr = 159.848389998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(1.01992976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.523425802028008 × 6371000     		do = 159.834365461748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(1.01990467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.523447180331134 × 6371000     		du = 159.840893583789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01992976)-sin(1.01990467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523425802028008-0.523447180331134)×R²
    abs(-0.33186716--0.33191509)×2.13783031260961e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13783031260961e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13783031260961e-05×40589641000000     		ar = 25549.7877419238m²