Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58612 / 37646
↖ ↑ ↗
← N 60.568078°
W 19.017334°		 ← 150.05 m → N 60.568078°
W 19.014588°		 →
↑
150.10 m
↓
↑
150.10 m
↓
N 60.566728°
W 19.017334°		 ← 150.06 m →
22 523 m²		 N 60.566728°
W 19.014588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447177886962891 y=0.287220001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447177886962891 × 217)
    floor (0.447177886962891 × 131072)
    floor (58612.5)     		tx = 58612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287220001220703 × 217)
    floor (0.287220001220703 × 131072)
    floor (37646.5)     		ty = 37646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58612 / 37646 ti = "17/58612/37646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58612/37646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58612 ÷ 217
    58612 ÷ 131072     		x = 0.447174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37646 ÷ 217
    37646 ÷ 131072     		y = 0.287216186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287216186523438 × 2 - 1) × π
    0.425567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33696013040337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33191509} λ = -0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33696013040337))-π/2
    2×atan(3.80745173878199)-π/2
    2×1.31395435385138-π/2
    2.62790870770276-1.57079632675     		φ = 1.05711238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05711238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.568078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58612 KachelY 37646 -0.33191509 1.05711238 -19.017334 60.568078
    Oben rechts KachelX + 1 58613 KachelY 37646 -0.33186716 1.05711238 -19.014588 60.568078
    Unten links KachelX 58612 KachelY + 1 37647 -0.33191509 1.05708882 -19.017334 60.566728
    Unten rechts KachelX + 1 58613 KachelY + 1 37647 -0.33186716 1.05708882 -19.014588 60.566728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05711238-1.05708882) × R
    2.35600000000336e-05 × 6371000     		dl = 150.100760000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05711238-1.05708882) × R
    2.35600000000336e-05 × 6371000     		dr = 150.100760000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(1.05711238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.491389071306032 × 6371000     		do = 150.051564333917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(1.05708882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.491409590520069 × 6371000     		du = 150.057830122769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05711238)-sin(1.05708882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491389071306032-0.491409590520069)×R²
    abs(-0.33186716--0.33191509)×2.05192140366739e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.05192140366739e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.05192140366739e-05×40589641000000     		ar = 22523.3240966313m²