Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58611 / 29325
↖ ↑ ↗
← N 70.008384°
W 19.020081°		 ← 104.42 m → N 70.008384°
W 19.017334°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 70.007445°
W 19.020081°		 ← 104.42 m →
10 904 m²		 N 70.007445°
W 19.017334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447170257568359 y=0.223735809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447170257568359 × 217)
    floor (0.447170257568359 × 131072)
    floor (58611.5)     		tx = 58611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223735809326172 × 217)
    floor (0.223735809326172 × 131072)
    floor (29325.5)     		ty = 29325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58611 / 29325 ti = "17/58611/29325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58611/29325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58611 ÷ 217
    58611 ÷ 131072     		x = 0.447166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29325 ÷ 217
    29325 ÷ 131072     		y = 0.223731994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447166442871094 × 2 - 1) × π
    -0.105667114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33196303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223731994628906 × 2 - 1) × π
    0.552536010742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73584307214185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33196303} λ = -0.33196303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73584307214185))-π/2
    2×atan(5.67370913413054)-π/2
    2×1.39633656371449-π/2
    2.79267312742897-1.57079632675     		φ = 1.22187680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33196303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.020081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22187680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.008384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58611 KachelY 29325 -0.33196303 1.22187680 -19.020081 70.008384
    Oben rechts KachelX + 1 58612 KachelY 29325 -0.33191509 1.22187680 -19.017334 70.008384
    Unten links KachelX 58611 KachelY + 1 29326 -0.33196303 1.22186041 -19.020081 70.007445
    Unten rechts KachelX + 1 58612 KachelY + 1 29326 -0.33191509 1.22186041 -19.017334 70.007445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22187680-1.22186041) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22187680-1.22186041) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33196303--0.33191509) × cos(1.22187680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341882640453835 × 6371000     		do = 104.419758453698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33196303--0.33191509) × cos(1.22186041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341898042790051 × 6371000     		du = 104.424462723635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22187680)-sin(1.22186041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341882640453835-0.341898042790051)×R²
    abs(-0.33191509--0.33196303)×1.54023362165523e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54023362165523e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54023362165523e-05×40589641000000     		ar = 10903.8288391481m²