Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58610 / 39170
↖ ↑ ↗
← N 58.444858°
W 19.022827°		 ← 159.84 m → N 58.444858°
W 19.020081°		 →
↑
159.85 m
↓
↑
159.85 m
↓
N 58.443421°
W 19.022827°		 ← 159.84 m →
25 550 m²		 N 58.443421°
W 19.020081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447162628173828 y=0.298847198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447162628173828 × 217)
    floor (0.447162628173828 × 131072)
    floor (58610.5)     		tx = 58610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298847198486328 × 217)
    floor (0.298847198486328 × 131072)
    floor (39170.5)     		ty = 39170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58610 / 39170 ti = "17/58610/39170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58610/39170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58610 ÷ 217
    58610 ÷ 131072     		x = 0.447158813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39170 ÷ 217
    39170 ÷ 131072     		y = 0.298843383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447158813476562 × 2 - 1) × π
    -0.105682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33201097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298843383789062 × 2 - 1) × π
    0.402313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2639042953824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33201097} λ = -0.33201097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2639042953824))-π/2
    2×atan(3.53921267912381)-π/2
    2×1.29542576700366-π/2
    2.59085153400732-1.57079632675     		φ = 1.02005521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33201097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.022827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02005521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.444858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58610 KachelY 39170 -0.33201097 1.02005521 -19.022827 58.444858
    Oben rechts KachelX + 1 58611 KachelY 39170 -0.33196303 1.02005521 -19.020081 58.444858
    Unten links KachelX 58610 KachelY + 1 39171 -0.33201097 1.02003012 -19.022827 58.443421
    Unten rechts KachelX + 1 58611 KachelY + 1 39171 -0.33196303 1.02003012 -19.020081 58.443421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02005521-1.02003012) × R
    2.50900000000609e-05 × 6371000     		dl = 159.848390000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02005521-1.02003012) × R
    2.50900000000609e-05 × 6371000     		dr = 159.848390000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33201097--0.33196303) × cos(1.02005521) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.523318905570134 × 6371000     		do = 159.835063989829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33201097--0.33196303) × cos(1.02003012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52334028552063 × 6371000     		du = 159.84159397703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02005521)-sin(1.02003012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523318905570134-0.52334028552063)×R²
    abs(-0.33196303--0.33201097)×2.13799504955592e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13799504955592e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13799504955592e-05×40589641000000     		ar = 25549.8995497227m²