Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58610 / 29327
↖ ↑ ↗
← N 70.006506°
W 19.022827°		 ← 104.43 m → N 70.006506°
W 19.020081°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 70.005566°
W 19.022827°		 ← 104.43 m →
10 905 m²		 N 70.005566°
W 19.020081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447162628173828 y=0.223751068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447162628173828 × 217)
    floor (0.447162628173828 × 131072)
    floor (58610.5)     		tx = 58610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223751068115234 × 217)
    floor (0.223751068115234 × 131072)
    floor (29327.5)     		ty = 29327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58610 / 29327 ti = "17/58610/29327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58610/29327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58610 ÷ 217
    58610 ÷ 131072     		x = 0.447158813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29327 ÷ 217
    29327 ÷ 131072     		y = 0.223747253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447158813476562 × 2 - 1) × π
    -0.105682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33201097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223747253417969 × 2 - 1) × π
    0.552505493164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.73574719834261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33201097} λ = -0.33201097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73574719834261))-π/2
    2×atan(5.67316520015499)-π/2
    2×1.39632017418239-π/2
    2.79264034836478-1.57079632675     		φ = 1.22184402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33201097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.022827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22184402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.006506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58610 KachelY 29327 -0.33201097 1.22184402 -19.022827 70.006506
    Oben rechts KachelX + 1 58611 KachelY 29327 -0.33196303 1.22184402 -19.020081 70.006506
    Unten links KachelX 58610 KachelY + 1 29328 -0.33201097 1.22182763 -19.022827 70.005566
    Unten rechts KachelX + 1 58611 KachelY + 1 29328 -0.33196303 1.22182763 -19.020081 70.005566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22184402-1.22182763) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22184402-1.22182763) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33201097--0.33196303) × cos(1.22184402) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.341913445034423 × 6371000     		do = 104.42916696564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33201097--0.33196303) × cos(1.22182763) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.341928847186946 × 6371000     		du = 104.433871179472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22184402)-sin(1.22182763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341913445034423-0.341928847186946)×R²
    abs(-0.33196303--0.33201097)×1.54021525228809e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54021525228809e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54021525228809e-05×40589641000000     		ar = 10904.811279542m²