Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58604 / 86224
↖ ↑ ↗
← S 49.296472°
W 19.039307°		 ← 199.18 m → S 49.296472°
W 19.036560°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
S 49.298263°
W 19.039307°		 ← 199.17 m →
39 668 m²		 S 49.298263°
W 19.036560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447116851806641 y=0.657840728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447116851806641 × 217)
    floor (0.447116851806641 × 131072)
    floor (58604.5)     		tx = 58604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657840728759766 × 217)
    floor (0.657840728759766 × 131072)
    floor (86224.5)     		ty = 86224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58604 / 86224 ti = "17/58604/86224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58604/86224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58604 ÷ 217
    58604 ÷ 131072     		x = 0.447113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86224 ÷ 217
    86224 ÷ 131072     		y = 0.6578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33229859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.315673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991718579339722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33229859} λ = -0.33229859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991718579339722))-π/2
    2×atan(0.370938655412179)-π/2
    2×0.355205293865556-π/2
    0.710410587731113-1.57079632675     		φ = -0.86038574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33229859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.039307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86038574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.296472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58604 KachelY 86224 -0.33229859 -0.86038574 -19.039307 -49.296472
    Oben rechts KachelX + 1 58605 KachelY 86224 -0.33225065 -0.86038574 -19.036560 -49.296472
    Unten links KachelX 58604 KachelY + 1 86225 -0.33229859 -0.86041700 -19.039307 -49.298263
    Unten rechts KachelX + 1 58605 KachelY + 1 86225 -0.33225065 -0.86041700 -19.036560 -49.298263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86038574--0.86041700) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dl = 199.157459999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86038574--0.86041700) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dr = 199.157459999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33229859--0.33225065) × cos(-0.86038574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652145089441261 × 6371000     		do = 199.181896530063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33229859--0.33225065) × cos(-0.86041700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652121391098635 × 6371000     		du = 199.17465844623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86038574)-sin(-0.86041700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652145089441261-0.652121391098635)×R²
    abs(-0.33225065--0.33229859)×2.36983426261661e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36983426261661e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36983426261661e-05×40589641000000     		ar = 39667.8398348285m²