Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58601 / 86267
↖ ↑ ↗
← S 49.373432°
W 19.047546°		 ← 198.87 m → S 49.373432°
W 19.044800°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 49.375220°
W 19.047546°		 ← 198.86 m →
39 543 m²		 S 49.375220°
W 19.044800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447093963623047 y=0.658168792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447093963623047 × 217)
    floor (0.447093963623047 × 131072)
    floor (58601.5)     		tx = 58601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658168792724609 × 217)
    floor (0.658168792724609 × 131072)
    floor (86267.5)     		ty = 86267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58601 / 86267 ti = "17/58601/86267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58601/86267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58601 ÷ 217
    58601 ÷ 131072     		x = 0.447090148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86267 ÷ 217
    86267 ÷ 131072     		y = 0.658164978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447090148925781 × 2 - 1) × π
    -0.105819702148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33244240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658164978027344 × 2 - 1) × π
    -0.316329956054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.993779866023384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33244240} λ = -0.33244240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993779866023384))-π/2
    2×atan(0.370174832001286)-π/2
    2×0.354533689950076-π/2
    0.709067379900152-1.57079632675     		φ = -0.86172895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33244240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.047546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86172895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.373432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58601 KachelY 86267 -0.33244240 -0.86172895 -19.047546 -49.373432
    Oben rechts KachelX + 1 58602 KachelY 86267 -0.33239446 -0.86172895 -19.044800 -49.373432
    Unten links KachelX 58601 KachelY + 1 86268 -0.33244240 -0.86176016 -19.047546 -49.375220
    Unten rechts KachelX + 1 58602 KachelY + 1 86268 -0.33239446 -0.86176016 -19.044800 -49.375220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86172895--0.86176016) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86172895--0.86176016) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33244240--0.33239446) × cos(-0.86172895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651126221762713 × 6371000     		do = 198.870708115381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33244240--0.33239446) × cos(-0.86176016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651102534008707 × 6371000     		du = 198.863473265584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86172895)-sin(-0.86176016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651126221762713-0.651102534008707)×R²
    abs(-0.33239446--0.33244240)×2.36877540056302e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36877540056302e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36877540056302e-05×40589641000000     		ar = 39542.5155508379m²