Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5860 / 7004
↖ ↑ ↗
← N 25.244696°
W 51.240234°		 ← 2 209.93 m → N 25.244696°
W 51.218261°		 →
↑
2 210.04 m
↓
↑
2 210.04 m
↓
N 25.224820°
W 51.240234°		 ← 2 210.29 m →
4 884 430 m²		 N 25.224820°
W 51.218261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357696533203125 y=0.427520751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357696533203125 × 214)
    floor (0.357696533203125 × 16384)
    floor (5860.5)     		tx = 5860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427520751953125 × 214)
    floor (0.427520751953125 × 16384)
    floor (7004.5)     		ty = 7004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5860 / 7004 ti = "14/5860/7004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5860/7004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5860 ÷ 214
    5860 ÷ 16384     		x = 0.357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7004 ÷ 214
    7004 ÷ 16384     		y = 0.427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357666015625 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89431080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.455592293989014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89431080} λ = -0.89431080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455592293989014))-π/2
    2×atan(1.5771072175794)-π/2
    2×1.00569969489915-π/2
    2.01139938979829-1.57079632675     		φ = 0.44060306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89431080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44060306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.244696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5860 KachelY 7004 -0.89431080 0.44060306 -51.240234 25.244696
    Oben rechts KachelX + 1 5861 KachelY 7004 -0.89392730 0.44060306 -51.218261 25.244696
    Unten links KachelX 5860 KachelY + 1 7005 -0.89431080 0.44025617 -51.240234 25.224820
    Unten rechts KachelX + 1 5861 KachelY + 1 7005 -0.89392730 0.44025617 -51.218261 25.224820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44060306-0.44025617) × R
    0.000346889999999989 × 6371000     		dl = 2210.03618999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44060306-0.44025617) × R
    0.000346889999999989 × 6371000     		dr = 2210.03618999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89431080--0.89392730) × cos(0.44060306) × R
    0.000383499999999981 × 0.904494631661076 × 6371000     		do = 2209.93228690282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89431080--0.89392730) × cos(0.44025617) × R
    0.000383499999999981 × 0.904642520622101 × 6371000     		du = 2210.29362082168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44060306)-sin(0.44025617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904494631661076-0.904642520622101)×R²
    abs(-0.89392730--0.89431080)×0.000147888961024578×R²
    0.000383499999999981×0.000147888961024578×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147888961024578×40589641000000     		ar = 4884429.66100291m²