Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 586 / 429
↖ ↑ ↗
← N 27.994402°
E 26.015625°		 ← 34.518 km → N 27.994402°
E 26.367188°		 →
↑
34.568 km
↓
↑
34.568 km
↓
N 27.683528°
E 26.015625°		 ← 34.617 km →
1 194.92 km²		 N 27.683528°
E 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57275390625 y=0.41943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57275390625 × 210)
    floor (0.57275390625 × 1024)
    floor (586.5)     		tx = 586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41943359375 × 210)
    floor (0.41943359375 × 1024)
    floor (429.5)     		ty = 429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 586 / 429 ti = "10/586/429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/586/429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 586 ÷ 210
    586 ÷ 1024     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 429 ÷ 210
    429 ÷ 1024     		y = 0.4189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509281621563477))-π/2
    2×atan(1.66409531525942)-π/2
    2×1.02969540176487-π/2
    2.05939080352975-1.57079632675     		φ = 0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 586 KachelY 429 0.45405831 0.48859448 26.015625 27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 587 KachelY 429 0.46019424 0.48859448 26.367188 27.994402
    Unten links KachelX 586 KachelY + 1 430 0.45405831 0.48316871 26.015625 27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 587 KachelY + 1 430 0.46019424 0.48316871 26.367188 27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48859448-0.48316871) × R
    0.00542577 × 6371000     		dl = 34567.58067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48859448-0.48316871) × R
    0.00542577 × 6371000     		dr = 34567.58067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.46019424) × cos(0.48859448) × R
    0.00613592999999996 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 34517.9892327614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.46019424) × cos(0.48316871) × R
    0.00613592999999996 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 34617.0392751064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48859448)-sin(0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.885527227905161)×R²
    abs(0.46019424-0.45405831)×0.00253376693265506×R²
    0.00613592999999996×0.00253376693265506×6371000²
    0.00613592999999996×0.00253376693265506×40589641000000     		ar = 1194918268.96693m²