Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58599 / 86821
↖ ↑ ↗
← S 50.354223°
W 19.053039°		 ← 194.83 m → S 50.354223°
W 19.050293°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
S 50.355975°
W 19.053039°		 ← 194.83 m →
37 958 m²		 S 50.355975°
W 19.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447078704833984 y=0.662395477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447078704833984 × 217)
    floor (0.447078704833984 × 131072)
    floor (58599.5)     		tx = 58599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662395477294922 × 217)
    floor (0.662395477294922 × 131072)
    floor (86821.5)     		ty = 86821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58599 / 86821 ti = "17/58599/86821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58599/86821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58599 ÷ 217
    58599 ÷ 131072     		x = 0.447074890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86821 ÷ 217
    86821 ÷ 131072     		y = 0.662391662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447074890136719 × 2 - 1) × π
    -0.105850219726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33253827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662391662597656 × 2 - 1) × π
    -0.324783325195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.0203369084129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33253827} λ = -0.33253827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0203369084129))-π/2
    2×atan(0.360473473166864)-π/2
    2×0.345974668493776-π/2
    0.691949336987551-1.57079632675     		φ = -0.87884699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33253827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.053039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87884699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.354223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58599 KachelY 86821 -0.33253827 -0.87884699 -19.053039 -50.354223
    Oben rechts KachelX + 1 58600 KachelY 86821 -0.33249034 -0.87884699 -19.050293 -50.354223
    Unten links KachelX 58599 KachelY + 1 86822 -0.33253827 -0.87887757 -19.053039 -50.355975
    Unten rechts KachelX + 1 58600 KachelY + 1 86822 -0.33249034 -0.87887757 -19.050293 -50.355975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87884699--0.87887757) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87884699--0.87887757) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33253827--0.33249034) × cos(-0.87884699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.638039390111903 × 6371000     		do = 194.833003384652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33253827--0.33249034) × cos(-0.87887757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.638015843099666 × 6371000     		du = 194.825813021195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87884699)-sin(-0.87887757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638039390111903-0.638015843099666)×R²
    abs(-0.33249034--0.33253827)×2.35470122368353e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35470122368353e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35470122368353e-05×40589641000000     		ar = 37957.6745254313m²