Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58593 / 38486
↖ ↑ ↗
← N 59.414343°
W 19.069519°		 ← 155.38 m → N 59.414343°
W 19.066773°		 →
↑
155.39 m
↓
↑
155.39 m
↓
N 59.412946°
W 19.069519°		 ← 155.38 m →
24 144 m²		 N 59.412946°
W 19.066773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447032928466797 y=0.293628692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447032928466797 × 217)
    floor (0.447032928466797 × 131072)
    floor (58593.5)     		tx = 58593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293628692626953 × 217)
    floor (0.293628692626953 × 131072)
    floor (38486.5)     		ty = 38486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58593 / 38486 ti = "17/58593/38486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58593/38486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58593 ÷ 217
    58593 ÷ 131072     		x = 0.447029113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38486 ÷ 217
    38486 ÷ 131072     		y = 0.293624877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447029113769531 × 2 - 1) × π
    -0.105941772460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33282589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293624877929688 × 2 - 1) × π
    0.412750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29669313472252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33282589} λ = -0.33282589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29669313472252))-π/2
    2×atan(3.65718283831615)-π/2
    2×1.30388612053745-π/2
    2.60777224107489-1.57079632675     		φ = 1.03697591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33282589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.069519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03697591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.414343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58593 KachelY 38486 -0.33282589 1.03697591 -19.069519 59.414343
    Oben rechts KachelX + 1 58594 KachelY 38486 -0.33277796 1.03697591 -19.066773 59.414343
    Unten links KachelX 58593 KachelY + 1 38487 -0.33282589 1.03695152 -19.069519 59.412946
    Unten rechts KachelX + 1 58594 KachelY + 1 38487 -0.33277796 1.03695152 -19.066773 59.412946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03697591-1.03695152) × R
    2.43900000000963e-05 × 6371000     		dl = 155.388690000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03697591-1.03695152) × R
    2.43900000000963e-05 × 6371000     		dr = 155.388690000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33282589--0.33277796) × cos(1.03697591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508825926536465 × 6371000     		do = 155.376117843901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33282589--0.33277796) × cos(1.03695152) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508846922990532 × 6371000     		du = 155.382529363738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03697591)-sin(1.03695152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508825926536465-0.508846922990532)×R²
    abs(-0.33277796--0.33282589)×2.09964540663909e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09964540663909e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09964540663909e-05×40589641000000     		ar = 24144.1895490362m²