Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58591 / 35563
↖ ↑ ↗
← N 63.259591°
W 19.075012°		 ← 137.43 m → N 63.259591°
W 19.072266°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 63.258355°
W 19.075012°		 ← 137.43 m →
18 886 m²		 N 63.258355°
W 19.072266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447017669677734 y=0.271327972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447017669677734 × 217)
    floor (0.447017669677734 × 131072)
    floor (58591.5)     		tx = 58591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271327972412109 × 217)
    floor (0.271327972412109 × 131072)
    floor (35563.5)     		ty = 35563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58591 / 35563 ti = "17/58591/35563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58591/35563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58591 ÷ 217
    58591 ÷ 131072     		x = 0.447013854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35563 ÷ 217
    35563 ÷ 131072     		y = 0.271324157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447013854980469 × 2 - 1) × π
    -0.105972290039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33292177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271324157714844 × 2 - 1) × π
    0.457351684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.43681269231194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33292177} λ = -0.33292177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43681269231194))-π/2
    2×atan(4.2072645768881)-π/2
    2×1.33744223953113-π/2
    2.67488447906227-1.57079632675     		φ = 1.10408815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33292177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.075012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10408815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.259591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58591 KachelY 35563 -0.33292177 1.10408815 -19.075012 63.259591
    Oben rechts KachelX + 1 58592 KachelY 35563 -0.33287383 1.10408815 -19.072266 63.259591
    Unten links KachelX 58591 KachelY + 1 35564 -0.33292177 1.10406658 -19.075012 63.258355
    Unten rechts KachelX + 1 58592 KachelY + 1 35564 -0.33287383 1.10406658 -19.072266 63.258355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10408815-1.10406658) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10408815-1.10406658) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33292177--0.33287383) × cos(1.10408815) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449948951741176 × 6371000     		do = 137.425991547842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33292177--0.33287383) × cos(1.10406658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449968214817246 × 6371000     		du = 137.431874987105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10408815)-sin(1.10406658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449948951741176-0.449968214817246)×R²
    abs(-0.33287383--0.33292177)×1.92630760704193e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92630760704193e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92630760704193e-05×40589641000000     		ar = 18885.8234598116m²