Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58589 / 35565
↖ ↑ ↗
← N 63.257119°
W 19.080505°		 ← 137.44 m → N 63.257119°
W 19.077759°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 63.255884°
W 19.080505°		 ← 137.44 m →
18 887 m²		 N 63.255884°
W 19.077759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447002410888672 y=0.271343231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447002410888672 × 217)
    floor (0.447002410888672 × 131072)
    floor (58589.5)     		tx = 58589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271343231201172 × 217)
    floor (0.271343231201172 × 131072)
    floor (35565.5)     		ty = 35565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58589 / 35565 ti = "17/58589/35565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58589/35565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58589 ÷ 217
    58589 ÷ 131072     		x = 0.446998596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35565 ÷ 217
    35565 ÷ 131072     		y = 0.271339416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446998596191406 × 2 - 1) × π
    -0.106002807617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33301764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271339416503906 × 2 - 1) × π
    0.457321166992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.4367168185127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33301764} λ = -0.33301764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4367168185127))-π/2
    2×atan(4.20686122978423)-π/2
    2×1.3374206694501-π/2
    2.67484133890019-1.57079632675     		φ = 1.10404501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33301764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.080505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10404501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.257119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58589 KachelY 35565 -0.33301764 1.10404501 -19.080505 63.257119
    Oben rechts KachelX + 1 58590 KachelY 35565 -0.33296970 1.10404501 -19.077759 63.257119
    Unten links KachelX 58589 KachelY + 1 35566 -0.33301764 1.10402344 -19.080505 63.255884
    Unten rechts KachelX + 1 58590 KachelY + 1 35566 -0.33296970 1.10402344 -19.077759 63.255884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10404501-1.10402344) × R
    2.15700000001373e-05 × 6371000     		dl = 137.422470000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10404501-1.10402344) × R
    2.15700000001373e-05 × 6371000     		dr = 137.422470000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33301764--0.33296970) × cos(1.10404501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449987477683962 × 6371000     		do = 137.437758362427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33301764--0.33296970) × cos(1.10402344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450006740341315 × 6371000     		du = 137.443641673803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10404501)-sin(1.10402344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449987477683962-0.450006740341315)×R²
    abs(-0.33296970--0.33301764)×1.92626573528587e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92626573528587e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92626573528587e-05×40589641000000     		ar = 18887.4404759189m²