Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58588 / 35612
↖ ↑ ↗
← N 63.198972°
W 19.083252°		 ← 137.71 m → N 63.198972°
W 19.080505°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
N 63.197734°
W 19.083252°		 ← 137.72 m →
18 961 m²		 N 63.197734°
W 19.080505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446994781494141 y=0.271701812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446994781494141 × 217)
    floor (0.446994781494141 × 131072)
    floor (58588.5)     		tx = 58588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271701812744141 × 217)
    floor (0.271701812744141 × 131072)
    floor (35612.5)     		ty = 35612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58588 / 35612 ti = "17/58588/35612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58588/35612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58588 ÷ 217
    58588 ÷ 131072     		x = 0.446990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35612 ÷ 217
    35612 ÷ 131072     		y = 0.271697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271697998046875 × 2 - 1) × π
    0.45660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43446378423056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33306558} λ = -0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43446378423056))-π/2
    2×atan(4.19739369655667)-π/2
    2×1.33691324062041-π/2
    2.67382648124081-1.57079632675     		φ = 1.10303015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10303015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.198972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58588 KachelY 35612 -0.33306558 1.10303015 -19.083252 63.198972
    Oben rechts KachelX + 1 58589 KachelY 35612 -0.33301764 1.10303015 -19.080505 63.198972
    Unten links KachelX 58588 KachelY + 1 35613 -0.33306558 1.10300854 -19.083252 63.197734
    Unten rechts KachelX + 1 58589 KachelY + 1 35613 -0.33301764 1.10300854 -19.080505 63.197734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10303015-1.10300854) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10303015-1.10300854) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33306558--0.33301764) × cos(1.10303015) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450893551161166 × 6371000     		do = 137.714496524696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33306558--0.33301764) × cos(1.10300854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450912839660645 × 6371000     		du = 137.720387728923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10303015)-sin(1.10300854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450893551161166-0.450912839660645)×R²
    abs(-0.33301764--0.33306558)×1.92884994791309e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92884994791309e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92884994791309e-05×40589641000000     		ar = 18960.5669728278m²