Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58587 / 45337
↖ ↑ ↗
← N 48.412795°
W 19.085999°		 ← 202.73 m → N 48.412795°
W 19.083252°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 48.410972°
W 19.085999°		 ← 202.74 m →
41 099 m²		 N 48.410972°
W 19.083252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446987152099609 y=0.345897674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446987152099609 × 217)
    floor (0.446987152099609 × 131072)
    floor (58587.5)     		tx = 58587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345897674560547 × 217)
    floor (0.345897674560547 × 131072)
    floor (45337.5)     		ty = 45337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58587 / 45337 ti = "17/58587/45337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58587/45337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58587 ÷ 217
    58587 ÷ 131072     		x = 0.446983337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45337 ÷ 217
    45337 ÷ 131072     		y = 0.345893859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446983337402344 × 2 - 1) × π
    -0.106033325195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33311352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345893859863281 × 2 - 1) × π
    0.308212280273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.968277435425514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33311352} λ = -0.33311352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968277435425514))-π/2
    2×atan(2.63340434112505)-π/2
    2×1.20787950488084-π/2
    2.41575900976168-1.57079632675     		φ = 0.84496268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33311352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.085999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84496268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.412795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58587 KachelY 45337 -0.33311352 0.84496268 -19.085999 48.412795
    Oben rechts KachelX + 1 58588 KachelY 45337 -0.33306558 0.84496268 -19.083252 48.412795
    Unten links KachelX 58587 KachelY + 1 45338 -0.33311352 0.84493086 -19.085999 48.410972
    Unten rechts KachelX + 1 58588 KachelY + 1 45338 -0.33306558 0.84493086 -19.083252 48.410972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84496268-0.84493086) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84496268-0.84493086) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33311352--0.33306558) × cos(0.84496268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663759196306575 × 6371000     		do = 202.729143713608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33311352--0.33306558) × cos(0.84493086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663782995623116 × 6371000     		du = 202.736412637474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84496268)-sin(0.84493086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663759196306575-0.663782995623116)×R²
    abs(-0.33306558--0.33311352)×2.37993165408401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37993165408401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37993165408401e-05×40589641000000     		ar = 41099.0470603431m²