Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58584 / 86233
↖ ↑ ↗
← S 49.312590°
W 19.094239°		 ← 199.12 m → S 49.312590°
W 19.091492°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 49.314380°
W 19.094239°		 ← 199.11 m →
39 642 m²		 S 49.314380°
W 19.091492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446964263916016 y=0.657909393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446964263916016 × 217)
    floor (0.446964263916016 × 131072)
    floor (58584.5)     		tx = 58584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657909393310547 × 217)
    floor (0.657909393310547 × 131072)
    floor (86233.5)     		ty = 86233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58584 / 86233 ti = "17/58584/86233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58584/86233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58584 ÷ 217
    58584 ÷ 131072     		x = 0.44696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86233 ÷ 217
    86233 ÷ 131072     		y = 0.657905578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.1060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33325733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657905578613281 × 2 - 1) × π
    -0.315811157226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.992150011436302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33325733} λ = -0.33325733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992150011436302))-π/2
    2×atan(0.370778655087491)-π/2
    2×0.355064638708677-π/2
    0.710129277417355-1.57079632675     		φ = -0.86066705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33325733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.094239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86066705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.312590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58584 KachelY 86233 -0.33325733 -0.86066705 -19.094239 -49.312590
    Oben rechts KachelX + 1 58585 KachelY 86233 -0.33320939 -0.86066705 -19.091492 -49.312590
    Unten links KachelX 58584 KachelY + 1 86234 -0.33325733 -0.86069830 -19.094239 -49.314380
    Unten rechts KachelX + 1 58585 KachelY + 1 86234 -0.33320939 -0.86069830 -19.091492 -49.314380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86066705--0.86069830) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dl = 199.093750000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86066705--0.86069830) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dr = 199.093750000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33325733--0.33320939) × cos(-0.86066705) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651931804167081 × 6371000     		do = 199.116753717366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33325733--0.33320939) × cos(-0.86069830) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651908107673675 × 6371000     		du = 199.109516198332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86066705)-sin(-0.86069830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651931804167081-0.651908107673675)×R²
    abs(-0.33320939--0.33325733)×2.36964934057227e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36964934057227e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36964934057227e-05×40589641000000     		ar = 39642.1807162763m²