Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58575 / 81658
↖ ↑ ↗
← S 40.434405°
W 19.118958°		 ← 232.47 m → S 40.434405°
W 19.116211°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
S 40.436495°
W 19.118958°		 ← 232.47 m →
54 030 m²		 S 40.436495°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446895599365234 y=0.623004913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446895599365234 × 217)
    floor (0.446895599365234 × 131072)
    floor (58575.5)     		tx = 58575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623004913330078 × 217)
    floor (0.623004913330078 × 131072)
    floor (81658.5)     		ty = 81658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58575 / 81658 ti = "17/58575/81658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58575/81658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58575 ÷ 217
    58575 ÷ 131072     		x = 0.446891784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81658 ÷ 217
    81658 ÷ 131072     		y = 0.623001098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446891784667969 × 2 - 1) × π
    -0.106216430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33368876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623001098632812 × 2 - 1) × π
    -0.246002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.772838695674545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33368876} λ = -0.33368876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772838695674545))-π/2
    2×atan(0.461700578877352)-π/2
    2×0.432541415278903-π/2
    0.865082830557807-1.57079632675     		φ = -0.70571350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33368876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.118958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70571350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.434405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58575 KachelY 81658 -0.33368876 -0.70571350 -19.118958 -40.434405
    Oben rechts KachelX + 1 58576 KachelY 81658 -0.33364082 -0.70571350 -19.116211 -40.434405
    Unten links KachelX 58575 KachelY + 1 81659 -0.33368876 -0.70574998 -19.118958 -40.436495
    Unten rechts KachelX + 1 58576 KachelY + 1 81659 -0.33364082 -0.70574998 -19.116211 -40.436495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70571350--0.70574998) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dl = 232.414080000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70571350--0.70574998) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dr = 232.414080000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.70571350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761148985802466 × 6371000     		do = 232.474492238815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.70574998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761125325204333 × 6371000     		du = 232.467265683122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70571350)-sin(-0.70574998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761148985802466-0.761125325204333)×R²
    abs(-0.33364082--0.33368876)×2.36605981330795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36605981330795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36605981330795e-05×40589641000000     		ar = 54029.5054666577m²