Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58574 / 39155
↖ ↑ ↗
← N 58.466412°
W 19.121704°		 ← 159.74 m → N 58.466412°
W 19.118958°		 →
↑
159.78 m
↓
↑
159.78 m
↓
N 58.464975°
W 19.121704°		 ← 159.74 m →
25 524 m²		 N 58.464975°
W 19.118958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446887969970703 y=0.298732757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446887969970703 × 217)
    floor (0.446887969970703 × 131072)
    floor (58574.5)     		tx = 58574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298732757568359 × 217)
    floor (0.298732757568359 × 131072)
    floor (39155.5)     		ty = 39155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58574 / 39155 ti = "17/58574/39155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58574/39155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58574 ÷ 217
    58574 ÷ 131072     		x = 0.446884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39155 ÷ 217
    39155 ÷ 131072     		y = 0.298728942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33373670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298728942871094 × 2 - 1) × π
    0.402542114257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.2646233488767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33373670} λ = -0.33373670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2646233488767))-π/2
    2×atan(3.54175847754074)-π/2
    2×1.2956138565138-π/2
    2.5912277130276-1.57079632675     		φ = 1.02043139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33373670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.121704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02043139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.466412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58574 KachelY 39155 -0.33373670 1.02043139 -19.121704 58.466412
    Oben rechts KachelX + 1 58575 KachelY 39155 -0.33368876 1.02043139 -19.118958 58.466412
    Unten links KachelX 58574 KachelY + 1 39156 -0.33373670 1.02040631 -19.121704 58.464975
    Unten rechts KachelX + 1 58575 KachelY + 1 39156 -0.33368876 1.02040631 -19.118958 58.464975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02043139-1.02040631) × R
    2.50799999998996e-05 × 6371000     		dl = 159.784679999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02043139-1.02040631) × R
    2.50799999998996e-05 × 6371000     		dr = 159.784679999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(1.02043139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522998311684959 × 6371000     		do = 159.73714636521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(1.02040631) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.523019688050107 × 6371000     		du = 159.743675257353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02043139)-sin(1.02040631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522998311684959-0.523019688050107)×R²
    abs(-0.33368876--0.33373670)×2.13763651477628e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13763651477628e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13763651477628e-05×40589641000000     		ar = 25524.0704259213m²