Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58574 / 39154
↖ ↑ ↗
← N 58.467848°
W 19.121704°		 ← 159.73 m → N 58.467848°
W 19.118958°		 →
↑
159.72 m
↓
↑
159.72 m
↓
N 58.466412°
W 19.121704°		 ← 159.74 m →
25 513 m²		 N 58.466412°
W 19.118958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446887969970703 y=0.298725128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446887969970703 × 217)
    floor (0.446887969970703 × 131072)
    floor (58574.5)     		tx = 58574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298725128173828 × 217)
    floor (0.298725128173828 × 131072)
    floor (39154.5)     		ty = 39154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58574 / 39154 ti = "17/58574/39154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58574/39154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58574 ÷ 217
    58574 ÷ 131072     		x = 0.446884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39154 ÷ 217
    39154 ÷ 131072     		y = 0.298721313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33373670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298721313476562 × 2 - 1) × π
    0.402557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26467128577632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33373670} λ = -0.33373670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26467128577632))-π/2
    2×atan(3.54192826253081)-π/2
    2×1.29562639171657-π/2
    2.59125278343315-1.57079632675     		φ = 1.02045646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33373670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.121704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02045646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.467848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58574 KachelY 39154 -0.33373670 1.02045646 -19.121704 58.467848
    Oben rechts KachelX + 1 58575 KachelY 39154 -0.33368876 1.02045646 -19.118958 58.467848
    Unten links KachelX 58574 KachelY + 1 39155 -0.33373670 1.02043139 -19.121704 58.466412
    Unten rechts KachelX + 1 58575 KachelY + 1 39155 -0.33368876 1.02043139 -19.118958 58.466412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02045646-1.02043139) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dl = 159.720969999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02045646-1.02043139) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dr = 159.720969999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(1.02045646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522976943514311 × 6371000     		do = 159.730619975877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(1.02043139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522998311684959 × 6371000     		du = 159.73714636521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02045646)-sin(1.02043139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522976943514311-0.522998311684959)×R²
    abs(-0.33368876--0.33373670)×2.13681706486835e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13681706486835e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13681706486835e-05×40589641000000     		ar = 25512.8507630057m²