Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58574 / 39153
↖ ↑ ↗
← N 58.469285°
W 19.121704°		 ← 159.72 m → N 58.469285°
W 19.118958°		 →
↑
159.72 m
↓
↑
159.72 m
↓
N 58.467848°
W 19.121704°		 ← 159.73 m →
25 512 m²		 N 58.467848°
W 19.118958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446887969970703 y=0.298717498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446887969970703 × 217)
    floor (0.446887969970703 × 131072)
    floor (58574.5)     		tx = 58574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298717498779297 × 217)
    floor (0.298717498779297 × 131072)
    floor (39153.5)     		ty = 39153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58574 / 39153 ti = "17/58574/39153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58574/39153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58574 ÷ 217
    58574 ÷ 131072     		x = 0.446884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39153 ÷ 217
    39153 ÷ 131072     		y = 0.298713684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33373670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298713684082031 × 2 - 1) × π
    0.402572631835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.26471922267594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33373670} λ = -0.33373670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26471922267594))-π/2
    2×atan(3.54209805566004)-π/2
    2×1.29563892640719-π/2
    2.59127785281437-1.57079632675     		φ = 1.02048153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33373670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.121704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02048153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.469285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58574 KachelY 39153 -0.33373670 1.02048153 -19.121704 58.469285
    Oben rechts KachelX + 1 58575 KachelY 39153 -0.33368876 1.02048153 -19.118958 58.469285
    Unten links KachelX 58574 KachelY + 1 39154 -0.33373670 1.02045646 -19.121704 58.467848
    Unten rechts KachelX + 1 58575 KachelY + 1 39154 -0.33368876 1.02045646 -19.118958 58.467848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02048153-1.02045646) × R
    2.50700000001824e-05 × 6371000     		dl = 159.720970001162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02048153-1.02045646) × R
    2.50700000001824e-05 × 6371000     		dr = 159.720970001162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(1.02048153) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522955575014968 × 6371000     		do = 159.724093486152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(1.02045646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522976943514311 × 6371000     		du = 159.730619975877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02048153)-sin(1.02045646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522955575014968-0.522976943514311)×R²
    abs(-0.33368876--0.33373670)×2.13684993425334e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13684993425334e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13684993425334e-05×40589641000000     		ar = 25511.8083542063m²