Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58571 / 86227
↖ ↑ ↗
← S 49.301845°
W 19.129944°		 ← 199.16 m → S 49.301845°
W 19.127197°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
S 49.303636°
W 19.129944°		 ← 199.15 m →
39 664 m²		 S 49.303636°
W 19.127197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446865081787109 y=0.657863616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446865081787109 × 217)
    floor (0.446865081787109 × 131072)
    floor (58571.5)     		tx = 58571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657863616943359 × 217)
    floor (0.657863616943359 × 131072)
    floor (86227.5)     		ty = 86227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58571 / 86227 ti = "17/58571/86227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58571/86227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58571 ÷ 217
    58571 ÷ 131072     		x = 0.446861267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86227 ÷ 217
    86227 ÷ 131072     		y = 0.657859802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446861267089844 × 2 - 1) × π
    -0.106277465820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33388051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657859802246094 × 2 - 1) × π
    -0.315719604492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.991862390038582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33388051} λ = -0.33388051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991862390038582))-π/2
    2×atan(0.370885314300513)-π/2
    2×0.355158403701116-π/2
    0.710316807402232-1.57079632675     		φ = -0.86047952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33388051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.129944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86047952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.301845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58571 KachelY 86227 -0.33388051 -0.86047952 -19.129944 -49.301845
    Oben rechts KachelX + 1 58572 KachelY 86227 -0.33383257 -0.86047952 -19.127197 -49.301845
    Unten links KachelX 58571 KachelY + 1 86228 -0.33388051 -0.86051078 -19.129944 -49.303636
    Unten rechts KachelX + 1 58572 KachelY + 1 86228 -0.33383257 -0.86051078 -19.127197 -49.303636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86047952--0.86051078) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dl = 199.157459999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86047952--0.86051078) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dr = 199.157459999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(-0.86047952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652073992501671 × 6371000     		do = 199.160181694677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(-0.86051078) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652050292247379 × 6371000     		du = 199.152943026972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86047952)-sin(-0.86051078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652073992501671-0.652050292247379)×R²
    abs(-0.33383257--0.33388051)×2.37002542915477e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37002542915477e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37002542915477e-05×40589641000000     		ar = 39663.5151053111m²