Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58571 / 29640
↖ ↑ ↗
← N 69.710489°
W 19.129944°		 ← 105.91 m → N 69.710489°
W 19.127197°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 69.709536°
W 19.129944°		 ← 105.92 m →
11 215 m²		 N 69.709536°
W 19.127197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446865081787109 y=0.226139068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446865081787109 × 217)
    floor (0.446865081787109 × 131072)
    floor (58571.5)     		tx = 58571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226139068603516 × 217)
    floor (0.226139068603516 × 131072)
    floor (29640.5)     		ty = 29640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58571 / 29640 ti = "17/58571/29640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58571/29640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58571 ÷ 217
    58571 ÷ 131072     		x = 0.446861267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29640 ÷ 217
    29640 ÷ 131072     		y = 0.22613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446861267089844 × 2 - 1) × π
    -0.106277465820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33388051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22613525390625 × 2 - 1) × π
    0.5477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72074294876154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33388051} λ = -0.33388051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72074294876154))-π/2
    2×atan(5.58867902441819)-π/2
    2×1.39373693926864-π/2
    2.78747387853728-1.57079632675     		φ = 1.21667755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33388051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.129944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21667755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.710489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58571 KachelY 29640 -0.33388051 1.21667755 -19.129944 69.710489
    Oben rechts KachelX + 1 58572 KachelY 29640 -0.33383257 1.21667755 -19.127197 69.710489
    Unten links KachelX 58571 KachelY + 1 29641 -0.33388051 1.21666093 -19.129944 69.709536
    Unten rechts KachelX + 1 58572 KachelY + 1 29641 -0.33383257 1.21666093 -19.127197 69.709536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21667755-1.21666093) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21667755-1.21666093) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(1.21667755) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3467639545372 × 6371000     		do = 105.910637419904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(1.21666093) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346779543258684 × 6371000     		du = 105.915398616699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21667755)-sin(1.21666093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3467639545372-0.346779543258684)×R²
    abs(-0.33383257--0.33388051)×1.55887214837169e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55887214837169e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55887214837169e-05×40589641000000     		ar = 11214.7079444641m²