Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5857 / 7007
↖ ↑ ↗
← N 25.185059°
W 51.306152°		 ← 2 210.96 m → N 25.185059°
W 51.284180°		 →
↑
2 211.18 m
↓
↑
2 211.18 m
↓
N 25.165173°
W 51.306152°		 ← 2 211.32 m →
4 889 232 m²		 N 25.165173°
W 51.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357513427734375 y=0.427703857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357513427734375 × 214)
    floor (0.357513427734375 × 16384)
    floor (5857.5)     		tx = 5857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427703857421875 × 214)
    floor (0.427703857421875 × 16384)
    floor (7007.5)     		ty = 7007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5857 / 7007 ti = "14/5857/7007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5857/7007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5857 ÷ 214
    5857 ÷ 16384     		x = 0.35748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7007 ÷ 214
    7007 ÷ 16384     		y = 0.42767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35748291015625 × 2 - 1) × π
    -0.2850341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89546128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42767333984375 × 2 - 1) × π
    0.1446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454441808398132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89546128} λ = -0.89546128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454441808398132))-π/2
    2×atan(1.57529382179318)-π/2
    2×1.00517926330514-π/2
    2.01035852661027-1.57079632675     		φ = 0.43956220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89546128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43956220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.185059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5857 KachelY 7007 -0.89546128 0.43956220 -51.306152 25.185059
    Oben rechts KachelX + 1 5858 KachelY 7007 -0.89507779 0.43956220 -51.284180 25.185059
    Unten links KachelX 5857 KachelY + 1 7008 -0.89546128 0.43921513 -51.306152 25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 5858 KachelY + 1 7008 -0.89507779 0.43921513 -51.284180 25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43956220-0.43921513) × R
    0.000347070000000005 × 6371000     		dl = 2211.18297000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43956220-0.43921513) × R
    0.000347070000000005 × 6371000     		dr = 2211.18297000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89546128--0.89507779) × cos(0.43956220) × R
    0.000383490000000042 × 0.904938052805463 × 6371000     		do = 2210.95803464835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89546128--0.89507779) × cos(0.43921513) × R
    0.000383490000000042 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 2211.31874798513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43956220)-sin(0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904938052805463-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.89507779--0.89546128)×0.000147638815163331×R²
    0.000383490000000042×0.000147638815163331×6371000²
    0.000383490000000042×0.000147638815163331×40589641000000     		ar = 4889231.60427174m²