Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58563 / 81592
↖ ↑ ↗
← S 40.296287°
W 19.151916°		 ← 232.95 m → S 40.296287°
W 19.149170°		 →
↑
232.92 m
↓
↑
232.92 m
↓
S 40.298381°
W 19.151916°		 ← 232.94 m →
54 259 m²		 S 40.298381°
W 19.149170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446804046630859 y=0.622501373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446804046630859 × 217)
    floor (0.446804046630859 × 131072)
    floor (58563.5)     		tx = 58563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622501373291016 × 217)
    floor (0.622501373291016 × 131072)
    floor (81592.5)     		ty = 81592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58563 / 81592 ti = "17/58563/81592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58563/81592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58563 ÷ 217
    58563 ÷ 131072     		x = 0.446800231933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81592 ÷ 217
    81592 ÷ 131072     		y = 0.62249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446800231933594 × 2 - 1) × π
    -0.106399536132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33426400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769674860299622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33426400} λ = -0.33426400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769674860299622))-π/2
    2×atan(0.463163636718087)-π/2
    2×0.433746725380491-π/2
    0.867493450760983-1.57079632675     		φ = -0.70330288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33426400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.151916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70330288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.296287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58563 KachelY 81592 -0.33426400 -0.70330288 -19.151916 -40.296287
    Oben rechts KachelX + 1 58564 KachelY 81592 -0.33421606 -0.70330288 -19.149170 -40.296287
    Unten links KachelX 58563 KachelY + 1 81593 -0.33426400 -0.70333944 -19.151916 -40.298381
    Unten rechts KachelX + 1 58564 KachelY + 1 81593 -0.33421606 -0.70333944 -19.149170 -40.298381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70330288--0.70333944) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dl = 232.923760000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70330288--0.70333944) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dr = 232.923760000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33426400--0.33421606) × cos(-0.70330288) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762710245604166 × 6371000     		do = 232.951341169351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33426400--0.33421606) × cos(-0.70333944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762686600267217 × 6371000     		du = 232.944119274816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70330288)-sin(-0.70333944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762710245604166-0.762686600267217)×R²
    abs(-0.33421606--0.33426400)×2.36453369492073e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36453369492073e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36453369492073e-05×40589641000000     		ar = 54259.0612128349m²