Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58561 / 81597
↖ ↑ ↗
← S 40.306760°
W 19.157409°		 ← 232.87 m → S 40.306760°
W 19.154663°		 →
↑
232.92 m
↓
↑
232.92 m
↓
S 40.308855°
W 19.157409°		 ← 232.86 m →
54 239 m²		 S 40.308855°
W 19.154663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446788787841797 y=0.622539520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446788787841797 × 217)
    floor (0.446788787841797 × 131072)
    floor (58561.5)     		tx = 58561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622539520263672 × 217)
    floor (0.622539520263672 × 131072)
    floor (81597.5)     		ty = 81597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58561 / 81597 ti = "17/58561/81597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58561/81597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58561 ÷ 217
    58561 ÷ 131072     		x = 0.446784973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81597 ÷ 217
    81597 ÷ 131072     		y = 0.622535705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446784973144531 × 2 - 1) × π
    -0.106430053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33435987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622535705566406 × 2 - 1) × π
    -0.245071411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.769914544797722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33435987} λ = -0.33435987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769914544797722))-π/2
    2×atan(0.463052636877284)-π/2
    2×0.433655327553624-π/2
    0.867310655107248-1.57079632675     		φ = -0.70348567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33435987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.157409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70348567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.306760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58561 KachelY 81597 -0.33435987 -0.70348567 -19.157409 -40.306760
    Oben rechts KachelX + 1 58562 KachelY 81597 -0.33431194 -0.70348567 -19.154663 -40.306760
    Unten links KachelX 58561 KachelY + 1 81598 -0.33435987 -0.70352223 -19.157409 -40.308855
    Unten rechts KachelX + 1 58562 KachelY + 1 81598 -0.33431194 -0.70352223 -19.154663 -40.308855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70348567--0.70352223) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dl = 232.923760000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70348567--0.70352223) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dr = 232.923760000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(-0.70348567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.762592015194209 × 6371000     		do = 232.866645821637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(-0.70352223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.762568364760692 × 6371000     		du = 232.859423877248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70348567)-sin(-0.70352223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762592015194209-0.762568364760692)×R²
    abs(-0.33431194--0.33435987)×2.36504335169307e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36504335169307e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36504335169307e-05×40589641000000     		ar = 54239.3336484116m²