Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58561 / 29632
↖ ↑ ↗
← N 69.718107°
W 19.157409°		 ← 105.85 m → N 69.718107°
W 19.154663°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 69.717154°
W 19.157409°		 ← 105.86 m →
11 208 m²		 N 69.717154°
W 19.154663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446788787841797 y=0.226078033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446788787841797 × 217)
    floor (0.446788787841797 × 131072)
    floor (58561.5)     		tx = 58561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226078033447266 × 217)
    floor (0.226078033447266 × 131072)
    floor (29632.5)     		ty = 29632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58561 / 29632 ti = "17/58561/29632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58561/29632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58561 ÷ 217
    58561 ÷ 131072     		x = 0.446784973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29632 ÷ 217
    29632 ÷ 131072     		y = 0.22607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446784973144531 × 2 - 1) × π
    -0.106430053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33435987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22607421875 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33435987} λ = -0.33435987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7211264439585))-π/2
    2×atan(5.59082266699345)-π/2
    2×1.39380341846664-π/2
    2.78760683693329-1.57079632675     		φ = 1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33435987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.157409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58561 KachelY 29632 -0.33435987 1.21681051 -19.157409 69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 58562 KachelY 29632 -0.33431194 1.21681051 -19.154663 69.718107
    Unten links KachelX 58561 KachelY + 1 29633 -0.33435987 1.21679389 -19.157409 69.717154
    Unten rechts KachelX + 1 58562 KachelY + 1 29633 -0.33431194 1.21679389 -19.154663 69.717154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21681051-1.21679389) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21681051-1.21679389) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(1.21681051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 105.850462406419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(1.21679389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346654830805085 × 6371000     		du = 105.855222844012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21681051)-sin(1.21679389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.346654830805085)×R²
    abs(-0.33431194--0.33435987)×1.55894876404661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55894876404661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55894876404661e-05×40589641000000     		ar = 11208.336211416m²