Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5856 / 7008
↖ ↑ ↗
← N 25.165173°
W 51.328125°		 ← 2 211.38 m → N 25.165173°
W 51.306152°		 →
↑
2 211.50 m
↓
↑
2 211.50 m
↓
N 25.145285°
W 51.328125°		 ← 2 211.74 m →
4 890 861 m²		 N 25.145285°
W 51.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357452392578125 y=0.427764892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357452392578125 × 214)
    floor (0.357452392578125 × 16384)
    floor (5856.5)     		tx = 5856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427764892578125 × 214)
    floor (0.427764892578125 × 16384)
    floor (7008.5)     		ty = 7008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5856 / 7008 ti = "14/5856/7008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5856/7008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5856 ÷ 214
    5856 ÷ 16384     		x = 0.357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7008 ÷ 214
    7008 ÷ 16384     		y = 0.427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357421875 × 2 - 1) × π
    -0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427734375 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454058313201172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89584478} λ = -0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454058313201172))-π/2
    2×atan(1.57468982000202)-π/2
    2×1.00500572945076-π/2
    2.01001145890153-1.57079632675     		φ = 0.43921513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43921513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.165173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5856 KachelY 7008 -0.89584478 0.43921513 -51.328125 25.165173
    Oben rechts KachelX + 1 5857 KachelY 7008 -0.89546128 0.43921513 -51.306152 25.165173
    Unten links KachelX 5856 KachelY + 1 7009 -0.89584478 0.43886801 -51.328125 25.145285
    Unten rechts KachelX + 1 5857 KachelY + 1 7009 -0.89546128 0.43886801 -51.306152 25.145285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43921513-0.43886801) × R
    0.000347120000000034 × 6371000     		dl = 2211.50152000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43921513-0.43886801) × R
    0.000347120000000034 × 6371000     		dr = 2211.50152000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89584478--0.89546128) × cos(0.43921513) × R
    0.000383499999999981 × 0.905085691620626 × 6371000     		do = 2211.3764109942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89584478--0.89546128) × cos(0.43886801) × R
    0.000383499999999981 × 0.905233242657106 × 6371000     		du = 2211.73691926928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43921513)-sin(0.43886801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905085691620626-0.905233242657106)×R²
    abs(-0.89546128--0.89584478)×0.00014755103648012×R²
    0.000383499999999981×0.00014755103648012×6371000²
    0.000383499999999981×0.00014755103648012×40589641000000     		ar = 4890860.97561475m²