Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58559 / 36415
↖ ↑ ↗
← N 62.187296°
W 19.162903°		 ← 142.51 m → N 62.187296°
W 19.160156°		 →
↑
142.52 m
↓
↑
142.52 m
↓
N 62.186014°
W 19.162903°		 ← 142.51 m →
20 310 m²		 N 62.186014°
W 19.160156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446773529052734 y=0.277828216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446773529052734 × 217)
    floor (0.446773529052734 × 131072)
    floor (58559.5)     		tx = 58559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277828216552734 × 217)
    floor (0.277828216552734 × 131072)
    floor (36415.5)     		ty = 36415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58559 / 36415 ti = "17/58559/36415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58559/36415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58559 ÷ 217
    58559 ÷ 131072     		x = 0.446769714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36415 ÷ 217
    36415 ÷ 131072     		y = 0.277824401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446769714355469 × 2 - 1) × π
    -0.106460571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33445575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277824401855469 × 2 - 1) × π
    0.444351196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.39597045383566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33445575} λ = -0.33445575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39597045383566))-π/2
    2×atan(4.03889222982825)-π/2
    2×1.32808469214044-π/2
    2.65616938428088-1.57079632675     		φ = 1.08537306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33445575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.162903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08537306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.187296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58559 KachelY 36415 -0.33445575 1.08537306 -19.162903 62.187296
    Oben rechts KachelX + 1 58560 KachelY 36415 -0.33440781 1.08537306 -19.160156 62.187296
    Unten links KachelX 58559 KachelY + 1 36416 -0.33445575 1.08535069 -19.162903 62.186014
    Unten rechts KachelX + 1 58560 KachelY + 1 36416 -0.33440781 1.08535069 -19.160156 62.186014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08537306-1.08535069) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dl = 142.519269999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08537306-1.08535069) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dr = 142.519269999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33445575--0.33440781) × cos(1.08537306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466582771205999 × 6371000     		do = 142.50638816675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33445575--0.33440781) × cos(1.08535069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46660255685181 × 6371000     		du = 142.512431212263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08537306)-sin(1.08535069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466582771205999-0.46660255685181)×R²
    abs(-0.33440781--0.33445575)×1.97856458105661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97856458105661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97856458105661e-05×40589641000000     		ar = 20310.3370379424m²