Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58558 / 81561
↖ ↑ ↗
← S 40.231315°
W 19.165650°		 ← 233.18 m → S 40.231315°
W 19.162903°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.233412°
W 19.165650°		 ← 233.17 m →
54 371 m²		 S 40.233412°
W 19.162903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446765899658203 y=0.622264862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446765899658203 × 217)
    floor (0.446765899658203 × 131072)
    floor (58558.5)     		tx = 58558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622264862060547 × 217)
    floor (0.622264862060547 × 131072)
    floor (81561.5)     		ty = 81561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58558 / 81561 ti = "17/58558/81561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58558/81561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58558 ÷ 217
    58558 ÷ 131072     		x = 0.446762084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81561 ÷ 217
    81561 ÷ 131072     		y = 0.622261047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446762084960938 × 2 - 1) × π
    -0.106475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33450369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622261047363281 × 2 - 1) × π
    -0.244522094726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.7681888164114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33450369} λ = -0.33450369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7681888164114))-π/2
    2×atan(0.46385242987135)-π/2
    2×0.434313708125988-π/2
    0.868627416251976-1.57079632675     		φ = -0.70216891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33450369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.165650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70216891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.231315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58558 KachelY 81561 -0.33450369 -0.70216891 -19.165650 -40.231315
    Oben rechts KachelX + 1 58559 KachelY 81561 -0.33445575 -0.70216891 -19.162903 -40.231315
    Unten links KachelX 58558 KachelY + 1 81562 -0.33450369 -0.70220551 -19.165650 -40.233412
    Unten rechts KachelX + 1 58559 KachelY + 1 81562 -0.33445575 -0.70220551 -19.162903 -40.233412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70216891--0.70220551) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dl = 233.178599999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70216891--0.70220551) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dr = 233.178599999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33450369--0.33445575) × cos(-0.70216891) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76344313922259 × 6371000     		do = 233.1751857451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33450369--0.33445575) × cos(-0.70220551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763419499684625 × 6371000     		du = 233.167965621724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70216891)-sin(-0.70220551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76344313922259-0.763419499684625)×R²
    abs(-0.33445575--0.33450369)×2.36395379642484e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36395379642484e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36395379642484e-05×40589641000000     		ar = 54370.6215837869m²